De los postulados con que Euclides define el plano, el quinto se hizo famoso pues parece no ser tan elemental como los demás y hasta se sospechaba que era teorema, más que axioma. Por más de dos milenios los matemáticos intentaron demostrarlo usando sólo a los otros cuatro, pero no pudieron. Y no pudieron porque no se puede, aunque esto quedó claro y bien establecido sólo hasta el siglo XIX.
Hay varias maneras equivalentes de enunciar al quinto postulado. La más usual es el axioma de las paralelas: dada una línea l y un punto P fuera de ella, se puede trazar una única línea que pasa por P y es paralela a l.
Existen dos formas de negar este axioma. La primera es que no existe la paralela y la segunda que por el punto P no pasa sólo una sino muchas paralelas a l. En la primera negación se peca por escasez y en la segunda, por exceso. Ambas suposiciones, al establecerlas como quinto axioma, son válidas y dan lugar a las geometrías no euclidianas. La primera negación del quinto postulado equivale a que no existe el paralelismo: cualquier par de rectas se intersecan como sucede en el plano elíptico, íntimamente relacionado con la geometría proyectiva. Por otra parte, en el plano hiperbólico se cumple que por un punto pasa más de una línea paralela a otra lejana.
Hacia principios del siglo XIX, varios matemáticos, entre los que destacan János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky, se convencieron de que existía el plano hiperbólico en el sentido matemático —pues aunque fuera algo abstracto, estaba muy bien definido por un sistema de axiomas—. Se podían hacer razonamientos y demostrar teoremas como antes lo hizo Euclides y estos resultados se iban aglomerando con una nueva lógica y elegancia interna. Por ejemplo, se podía demostrar que, en el plano hiperbólico, la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre era menor que π —o 180 grados— pero, además, que lo que le faltaba para π era justamente su área. Entre más chica el área de un triángulo, más se parece a uno euclidiano; pero por el otro extremo, los triángulos hiperbólicos siempre tienen un área menor a π; ¡algo sorprendente y bonito!
Estos últimos resultados se los achacan algunos historiadores a Gauss, pero no quiso publicarlos por temor al descrédito. De hecho, el trabajo de Bolyai y Lobachevsky —que sí publicaron— fue atacado y despreciado por muchos como algo insensato y sin sentido ni fundamentos en nuestra "realidad". Sin embargo, hacia finales del siglo XIX se descubrieron modelos del plano hiperbólico dentro de la propia geometría euclidiana y, entonces, no hubo más remedio que aceptar su existencia. El más simple de estos modelos es el de Klein, que consiste en el interior de un disco —sin su frontera— y las líneas son los segmentos o cuerdas de este disco (figura 4.35).
En el modelo de Klein del plano hiperbólico, las distancias y los ángulos no corresponden con los euclidianos. Están dados por fórmulas complejas que expresan con precisión cómo dos puntos que nos parecen cercanos pero que están cerca de la frontera, hiperbólicamente están muy lejos. Así que una barra rígida —hiperbólica— se hace chica —euclidianamente— conforme se le acerca al borde, como se verá en los ejemplos de la figura 4.40.
Con la aceptación de estas nuevas geometrías, la matemática se desprende de la realidad inmediata como único objeto de estudio y aclara el papel de la ciencia como proveedor de modelos abstractos para entenderla. De hecho, esta nueva libertad creativa proporciona herramientas para cuestionar nuestra concepción de la realidad, pues Gauss, como buen científico, quiso medir los ángulos de triángulos muy grandes para ver si realmente sumaban π, o lo que es lo mismo, si a gran escala éramos euclidianos o hiperbólicos. Sin embargo, el control en los errores de medición no le permitieron decidir y esa duda sigue en pie.
