Las nociones geométricas elementales residen en algo más primordial que el intelecto humano, pues los animales también las manejan. Con ellos compartimos un espacio —el espacio físico—, así como las dificultades, obstáculos y peligros que surgen al moverse en él. De esta manera, la contundencia del espacio que habitamos por medio de las reglas elementales —e implacables— que lo rigen es la fuente de nuestra intuición geométrica. Sin embargo, no fue tarea fácil precisar esas reglas y eso sí es obra del intelecto humano.
Se puede pensar en la geometría euclidiana como el primer modelo exitoso del espacio físico. Con base en unos cuantos axiomas o postulados se construye una teoría en la que se pueden ir demostrando ciertas afirmaciones, llamadas teoremas, por medio de razonamientos lógicos precisos. Con estos axiomas se trata de definir los elementos básicos —pero etéreos— del espacio, que son precisamente los puntos y las líneas, al indicar las relaciones que mantienen. Por ejemplo, con el axioma "por dos puntos pasa una única línea" se expresa la idea de que las líneas son la manera preferente para ir de un punto a otro y que, en ellas, se miden las distancias.
Además de describir con unos cuantos axiomas el espacio que habitamos, Euclides también describe y sienta las bases para estudiar algo mucho más abstracto: el plano euclidiano, que tiene sólo dos dimensiones y sus símiles en el mundo real son las superficies lisas como paredes, pisos, papeles y pizarrones. A diferencia de ellos, el plano euclidiano se extiende indefinidamente. Esto es algo que es más fácil de intuir para el espacio: nos sentimos inmersos en él y sabemos por experiencia que nunca veremos sus "límites", pero a los "planos reales" los vemos desde fuera y siempre se acaban. El plano euclidiano es el primer ejemplo de lo que hoy los matemáticos llamamos espacios. Sí, en plural, porque hay muchos. Sabemos bien que en el sentido físico no existe el plano euclidiano, que es algo abstracto de lo cual podemos decir muchas cosas y que al estudiarlo obtenemos herramientas para modelar y controlar al espacio físico. Pero también plantea problemas intrínsecos, que aunque parezcan alejados de la realidad, a la vuelta de la historia nos ayudan a entenderla.
