Después de su nacimiento, los grupos se hicieron abstractos, es decir, los matemáticos empezaron a estudiarlos sin pensar específicamente en grupos de Galois y en su conexión con la resolución de ecuaciones y permutaciones de raíces. De la misma manera, se empezaron a estudiar los grupos finitos, es decir, los grupos que tienen un número finito de elementos. Como los números enteros mayores que 1 se descomponen en un producto de primos, también los grupos finitos se "descomponen", pero en grupos simples. Es decir, así como los primos son la pieza clave para los números, los grupos simples lo son para los grupos.
Lo anterior muestra el gran interés de la comunidad matemática por conocer todos los grupos simples que hay, es decir, de obtener un resultado de clasificación. En 1954, en el Congreso Internacional de Matemáticas en Amsterdam, Richard Brauer anunció una idea sobre cómo podría emprenderse esta clasificación, lo cual desató una actividad frenética que tardó más de dos décadas en resolverse e involucró alrededor de cien matemáticos que publicaron sus hallazgos y avances en más de diez mil páginas.
El trabajo concluyó alrededor de 1980, cuando se obtuvo una lista completa de los grupos finitos que son simples. Esta lista consta de tres familias infinitas. Una de ellas es la de los grupos alternantes: para cada entero n ≥ 5, el grupo An se forma con las permutaciones que se pueden escribir como composición de un número par de transposiciones; véase sección 4.9. Además, hay 26 grupos esporádicos, es decir, grupos que no aparecen en familias, cuyos nombres son muy llamativos: el Monster es el grupo esporádico más grande y tiene:
808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
elementos. Sin embargo, ya durante la escritura de la demostración surgieron dudas sobre la salidez del resultado. La demostración de que éstos son todos los grupos simples es extremadamente difícil y, por ello, Daniel Gorenstein, Richard Lyons y Ron Solomon empren dieron una segunda etapa: el proyecto de revisión, que aún no ha concluido aunque ya se publicaron 4 de los 12 tomos planeados para la demostración. Lamentablemente, Gorenstein murió en 1992, situación que frenó el proyecto.
El teorema de clasificación de los grupos simples es un gran logro de la mente humana y completamente único en la historia. Nunca antes los matemáticos se habían reunido para producir una certeza en un estilo casi industrial. El logro es comparable con la gran Pirámide de Giza, que también sólo fue posible por el esfuerzo colectivo. El resultado en sí ha sido muy exitoso: muchas veces que se quiere demostrar una propiedad para grupos finitos, en general se puede mostrar para los simples porque éstos se conocen y, luego, se extiende el resultado a todos los grupos usando el teorema de Jordan-Hölder.
Sin embargo, este ejemplo muestra también la gran dificultad a la cual se enfrentan los matemáticos hoy día: la complejidad de los argumentos puede volverse tan grande que es casi imposible avanzar aún más en esta dirección. Lo anterior es un ejemplo de las limitaciones que existen para el avance científico. Aún más sorprendente es que el grupo llamado monster está relacionado con la teoría de cuerdas; esta teoría de la física aún no se ha concluido, pues los cálculos involucrados son extremadamente difíciles. Una vez más se puede apreciar lo que Eugene Wigner llamó "la inexplicable eficacia de las matemáticas": es realmente sorprendente que este lenguaje abstracto sea tan útil en la descripción de las leyes que gobiernan nuestro Universo.
