Con la teoría de conjuntos, véase sección 4.3, y las estructuras algebraicas a la mano, el siglo XX emprendió una formalización de las matemáticas —o mejor dicho—, una algebraización. Amplias áreas de las matemáticas se revisaron y se basaron en el álgebra, y se puede decir que, en algunos casos, la euforia era tal que se pecó de exageración.
Veamos aquí en qué sentido se "algebraizó" la geometría, de nuevo y una vez más, después de la geometría analítica de Descartes. Lo que surgió a partir de entonces se llama hoy geometría algebraica y debe bastarnos como ejemplo. Mencionamos que existe también una topología algebraica, que un grupo de matemáticos franceses —que publicaron bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki— algebraizaron el análisis y que la teoría algebraica de los números es de lo más moderno y más difícil.
En la geometría algebraica no sólo se tratan planos y rectas, sino curvas y superficies, aunque éstas se piensen dentro de algún espacio vectorial; por ejemplo, el Cn, es decir, el espacio de números complejos de dimensión n. Por consiguiente, los objetos que interesan son curvos dentro de un espacio bien conocido. Se exige que la curva o la superficie estén definidas por una o varias ecuaciones algebraicas. Por ejemplo:
describe una esfera en el espacio tridimensional, con centro en el origen (0,0,0) y radio 1, mientras que el sistema de ecuaciones:
describe una circunferencia con centro en el origen y radio 1, que está en el plano de coordenadas x1, x2.
Esto muestra que el estudio de los objetos geométricos que están dados por ecuaciones algebraicas se puede traducir a un lenguaje algebraico. Se critica a la geometría algebraica porque ya no es geométrica, sin embargo, algebraizaciones como ésta han tenido un fuerte impacto en el avance de las matemáticas.
