Hemos dejado la solución de ecuaciones lineales desde la mención de que los chinos ya conocían un método general que se llama hoy el método de Gauss, lo que puede interpretarse correctamente como que en estos 2 000 años no hubo avance sustancial. La situación cambia radicalmente durante la segunda mitad del siglo XIX. Matemáticos como Arthur Cayley y Hermann Günther Grassmann lucharon por la noción de espacio vectorial, que se hace respecto a un campo k. Hoy, se define un espacio vectorial como un grupo abeliano V junto con una función:
k x V 
V (9)
tal que se satisfacen una serie de propiedades, que relacionan la suma en Vcon la suma y el producto en k. Por ejemplo, se quiere que:
para todo a, b de k y todo v, w de V. Estas ecuaciones se ven como leyes de distributividad. Las otras propiedades que deben satisfacerse son:
para todo a, b de k y todo v de V. La primera se parece a una asociatividad, la segunda establece que el elemento neutro 1k del campo k satisface una propiedad similar en V respecto a la multiplicación con escalares (9), mientras que la tercera relaciona los elementros neutros aditivos de k y de V.
Si tomamos el ejemplo de Fang Cheng, entonces el sistema de ecuaciones:
expresa una relación entre las tres variables x, y, z. En el siglo XIX se empezó a pensar muy diferente sobre ello. Al considerar la matriz de coeficientes:
se considera una transformación R3 R3 , del espacio de tres dimensiones en sí mismo. Aquí, R denota al conjunto de números reales que debemos pensar en su forma geométrica como recta real, mientras R3 denota R x R x R, que es el producto cartesiano de tres números reales.
También se formalizó la noción de dimensión como el mínimo número de coordenadas que requiere en un espacio vectorial para describir cualquier punto en él, en completa concordancia con nuestro sentido común para la dimensión en la geometría. Es decir, la dimensión es el mínimo número N, tal que existen elementos v1,…., vN de V con la propiedad de que cualquier elemento w de V se puede escribir como una combinación lineal de v1,…., vN con coeficientes en el campo k, esto es, que existen a1,…., aN de k, tal que:
Se puede demostrar que estos coeficientes están determinados de manera única. Los números a1,..., aN son las coordenadas de w en la base v1,…., vN. Por ello, basta fijar el vector (a1,..., aN) en kNy lo que se obtiene es una identificación —una biyección, en términos matemáticos— de los elementos de V con los elementos de kN mediante las coordenadas en la base v1,…., vN.
Con el álgebra lineal se crean fuertes herramientas para tratar todo tipo de fenómenos lineales en el álgebra y aquellos fenómenos geométricos que son lineales, es decir, que sólo tienen que ver con líneas y planos y su generalización en dimensiones mayores.
