La aritmética se encarga de la operación de números; es la rama más antigua de las matemáticas y, además de la geometría, la que más desarrollo ha generado con el pasar de los siglos.
Al principio, los fines de la aritmética eran sólo prácticos; por ejemplo, enseñaba cómo hacer cálculos correctamente y, además, de manera eficiente.
No debe olvidarse, como ya se mencionó en el tema 2, que la operación con números requiere de considerable destreza si uno no cuenta con herramientas auxilares como un ábaco en tiempos pasados, una regla de cálculo hace 50 años o una calculadora de bolsillo en la actualidad.
La representación de los números en un sistema posicional —como el decimal de los árabes— fue fundamental para el desarrollo de algoritmos, con los cuales se pudieron efectuar las operaciones básicas.
Fueron precisamente los griegos quienes establecieron las primeras propiedades de los números —los pitagóricos estaban particularmente fascinados con estos números—. Ellos llamaron número n, perfecto si la suma de sus divisores propios, es decir, los divisores menores que dicho número, resultaba justamente n. Por ejemplo, 6 es perfecto: sus divisores propios son 1, 2 y 3 que suman 6. Pero 5 no es perfecto, ya que sólo tiene un divisor propio que es el uno. Los números que sólo tienen al 1 como divisor propio se llaman primos. Por ejemplo, 5 es primo y 6 no lo es.
Los griegos mostraron que cada número positivo se descompone en factores primos y que esta descomposición es esencialmente única, pues diferentes descomposiciones sólo difieren en el orden. Por ejemplo 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2. Al hecho de que se puede y que es único, se le conoce como el teorema fundamental de la aritmética.
Además, los griegos demostraron que hay un número infinito de primos. Esto lo demostraron por contradicción, es decir, se supone lo contrario y con ello se llega a una contradicción. En efecto, si solamente hubiera un número finito estos primos se podrían poner en una lista y numerarlos como p1, p2,…, pN. Entonces, se formaría el número:
x = p1, p2,…, pN + 1.
Este número no puede ser divisible entre p1 porque si no, también x - p1 p2… pN = 1 sería divisible entre p1, lo cual no puede ser ya que p1 > 1. De manera similar, se muestra que x tampoco es divisible por ninguno de los primos p2,…, pN. En conclusión, x no es producto de primos, lo que contradice el teorema fundamental de la aritmética. Hemos encontrado una contradicción.
Una revisión minuciosa de la argumentación muestra que no se ha cometido ningún error y, por lo tanto, no puede ser cierta la suposición de que hay sólo un número finito de primos.
