Incluso en tiempos de Cantor, un conjunto era simplemente una colección de objetos que tenía la única restricción de que a partir de un conjunto siempre se debía poder decidir si algún objeto pertenecía o no a dicho conjunto. Con esta definición tan amplia se llegó rápidamente a contradicciones, entre las cuales la que formuló Russell es la más famosa.
Russell dice que conoce un pueblo donde el único barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan por sí mismos. A primera vista, esto suena totalmente plausible. La formulación implica que cada hombre es afeitado: si no lo hace él solo, entonces visita al barbero.Con los hombres del pueblo se forman dos subconjuntos: los que se afeitan solos y los que visitan al barbero. Ahora, ¿a cuál subconjunto pertenece el barbero?
Al hacer las conclusiones lógicas se deduce rápidamente que, de cualquier manera, se llega a una contradicción. Con ello, Russell muestra que los conjuntos no se pueden definir de una manera tan laxa. En efecto, la definición que hoy opera para un conjunto es más restrictiva y evita que se generen este tipo de contradicciones.
Y aunque la discusión sobre cuál debe ser exactamente la base de las matemáticas no se ha concluido, es un hecho que los conjuntos son los que forman la base moderna para las matemáticas. A partir de los conjuntos, se forman todos los demás conceptos desde un punto de vista más formal. Como ejemplo, veremos de qué manera el concepto de función se basa en el de conjuntos. Una función tiene un dominio A y un codominio B y "asigna" a cada elemento de A un elemento de B. Ahora, esto se transforma en el lenguaje abstracto de conjuntos. Para ello, partimos de dos conjuntos A y B y definimos primero el concepto de producto cartesiano A x B, que consiste en los pares ordenados (a, b) con a ϵ A y b ϵ B. Formalmente, también se debe definir par ordenado con base en conjuntos; esto lo indicamos al lector interesado en el siguiente recuadro.
Un subconjunto ∑ ⊂ A x B —esto se lee "sigma subconjunto de A cruz B" — se llama gráfica si para cada a ϵ A, existe un b ϵ B —uno y solamente uno—, tal que (a, b) ϵ ∑. La condición realiza lo que antes se expresó: "la función asigna a cada elemento a ϵ A, un elemento b ϵ B". Finalmente, una función es un triplete (A, B, ∑) donde A, B son conjuntos y ∑ ⊂ A x B es una gráfica.
Los conjuntos no sólo sirvieron para liberar y aclarar el concepto del infinito sino, también, para dar formalidad a todos los conceptos matemáticos en la actualidad. En este sentido, han sido el gran artículo de moda matemática para todo el siglo XX.
