Una de las fuentes de inspiración más fértiles para la creación de las matemáticas son ellas mismas. Muchos de sus desarrollos más espectaculares surgen de mirarse obsesivamente el ombligo, es decir, del trabajo para resolver problemas que ellas mismas plantean. Siendo por naturaleza abstractas, parecería que este ensimismamiento las conduciría a una espiral que se aleja irremediablemente de la realidad. Pero no es así. La historia ha demostrado una y mil veces que matemáticas creadas en la estratósfera de la abstracción se convierten en la herramienta para entender o resolver problemas de otra ciencia o área muy concreta de la actividad humana. El ejemplo más clásico son las cónicas de los griegos que reaparecen como las órbitas planetarias con Kepler, pero hay innumerables más: el MP3 y los DVD, Google, la relatividad general o la mecánica cuántica, por citar algunos otros ejemplos famosos de este fenómeno en que desarrollos abstractos de las matemáticas se aplican tiempo después.
Los matemáticos creemos, no como fe sino como método de trabajo, que esto sucede así porque hay naturalidad en las matemáticas y que éstas se descubren; que están ahí como la realidad lo está para las otras ciencias, pues da la sensación de que su naturalidad es algo cercano a la naturaleza —y la historia lo indica—. De tal manera que uno de los encantos de hacer matemáticas es ese contrapunto lúdico que se establece entre crear y descubrir. Henry Poincaré, uno de los matemáticos más importantes hace un siglo, decía que "el científico no estudia la naturaleza porque sea útil; lo hace porque se deleita en ello y se deleita en ello porque es bella". Quizá no todos los científicos estén de acuerdo con él hoy día, pero los matemáticos seguro que sí, e incluyen, como Poincaré lo hacía, a su materia de trabajo en el vocablo naturaleza.
Las secciones o apartados que se aglutinan en este capítulo responden a motivaciones o describen desarrollos que surgen de las propias matemáticas; de su dinámica interna. Pedimos entonces al lector que se muerda la lengua si lo asaltan las preguntas ¿y esto para qué sirve? o ¿en qué me será útil? Debe ser condescendiente al empezar cada apartado y dar por válida la motivación que se presenta, pues como fenómeno cultural así es como se han desarrollado en gran medida las matemáticas y vale la pena conocerlas como tal; tratar de apreciar por qué han cautivado a mentes tan extraordinarias.
En este capítulo iniciamos con un tópico muy clásico que es la razón áurea, pero poniendo énfasis en su interés matemático más que en el estético. Se sigue con secciones que versan en áreas como la combinatoria, la teoría de conjuntos, el álgebra y la geometría, con enfoques diversos pero siempre partiendo de los cuestionamientos que dieron origen a algunos de sus desarrollos. Después, damos un giro y revisamos aspectos de los fundamentos de las matemáticas así como de sus límites, para intentar transmitir que a partir de cuestionamientos aparentemente filosóficos también surgen matemáticas profundas. Concluimos con una breve exposición de la vitalidad y el crecimiento explosivo de las matemáticas contemporáneas.
