Del resultado anterior se deduce que cualquier número complejo que se puede escribir como una expresión que involucre solamente números racionales, las cuatro operaciones básicas y raíces cuadradas, es construible. Denotamos por 
al conjunto de los números que se pueden escribir así. Por ejemplo:
es uno de los números en . Hemos demostrado que cada número en pertenece a 
, es decir,
.
Ahora veamos que cada número construible es, en efecto, un número en o lo, que es lo mismo, que 
y, por ello, 
. Demostraremos:
(34)
De ahí seguirá que 
pertenece a , es decir .
Para ello, primero observamos que si un número complejo x = a + bi es construible, entonces también lo son la parte real a y la parte imaginaria b, y viceversa: si a y b son dos números reales construibles, entonces también a + bi es construible. La parte real y la parte imaginaria de los números complejos sirven como las dos coordenadas en el plano. Lo anterior nos permite elaborar argumentos con técnicas de geometría analítica.
Los números que son construibles se organizan en niveles 
. En el primer nivel 
están solamente los dos números iniciales 0 y 1. En el segundo nivel 
se encuentran los números del primer nivel más aquellos otros que se puedan obtener a partir de intersecciones de rectas y circunferencias definidas por números del nivel anterior. Por ejemplo, 
es un número del nivel 1 —es una de las dos intersecciones de la circunferencia con centro 0 que pasa por el punto 1, con la circunferencia con centro 1 que pasa por el punto 0—. Inductivamente, los puntos del nivel N son los puntos del nivel N - 1 más aquellos puntos que se pueden obtener como intersección de rectas o circunferencias definidas a partir de puntos del nivel anterior.
Como cada punto construible se obtiene por una sucesión finita de pasos de construcción, tenemos que para cada 
existe un N tal que 
. Ahora hemos preparado las bases para una demostración por inducción: demostramos (34) por inducción sobre N, es decir demostramos que:
(35)
para los diferentes N, uno tras otro. El inicio de la inducción es cuando N = 1 . Como 
, tenemos que 
y con ello (35) para N = 1.
Ahora, si suponemos que ya demostramos (35) para N = L - 1 y argumentamos que (35) también satisface para N = L.
Sea 
. Entonces, existen dos objetos ℓ y k —rectas o circunferencias—, dadas por puntos en 
: el objeto ℓ está dado por P = a + bi y Q = c + di mientras que el objeto k está definido por los puntos P´= a' + b'i y Q´= c' + di. Si ℓ es la recta que pasa por los puntos P y Q, entonces ℓ se representa por la ecuación:
(a – c)y + bc = (b –d)x + ad, (36)
y si ℓ es la circunferencia con centro Pque pasa por Q, entonces ℓ se representa por la ecuación:
(x – a)2 +(y – b)2 = (c – a) 2 + (d –b)2 . (37)
Ecuaciones similares definen al objeto k. Ahora tenemos que distinguir tres casos.
Caso 1: cuando ℓ y k son rectas. Aquí, las ecuaciones que representan ℓ y k definen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x y y. La solución está dada por expresiones que involucran los números a, b, c, d, a', b', c', d' y las cuatro operaciones básicas, en concreto:
Como a, b, c, d, a', b', c', d' están en por hipótesis de inducción —porque P, Q, P', 
—, tenemos que 
por definición de los números que pertenecen a .
Caso 2: cuando ℓ es recta y k es una circunferencia, similar al caso en que k es recta y ℓ circunferencia. Si b ≠ d, se puede despejar x de la ecuación (36) y sustituirlo en la ecuación que representa a k. Con ello se obtiene una ecuación cuadrática y en de la forma:
Ay2 + By + C = 0 (38)
donde:
Nuevamente,
por hipótesis de inducción y, con ello, 
por definición de la forma de los números que pertenecen a . Por lo tanto, también la solución de (38):
(39)
pertenece a . La sustitución de (39) da una ecuación cuadrática en x con coeficientes en. Consecuentemente, x pertenece a .
Si b = d, entonces se puede despejar y de la ecuación (36) y se obtiene que:
que está en por hipótesis de inducción. La sustitución en la ecuación que representa k da:
que es cuadrática en x con coeficientes en . Por lo tanto, las soluciones están en .
Caso 3: cuando ℓ y k son circunferencias. En vez de trabajar con el sistema de las dos ecuaciones
que representan ℓ y k , se trabaja con el sistema de ℓ y m, donde es la diferencia entre ℓ y k:
La segunda línea muestra la ecuación después de expandir y simplificar el lado izquierdo. Se ve que es lineal en las variables x, y por lo que se puede proceder como en el caso 2. La ecuación m representa la recta que pasa por los dos puntos de intersección de ℓ y k , o la tangente común si ℓ y k son tangentes en Z.
Con todo lo anterior, demostramos el segundo resultado importante:
Teorema 2: los números construibles son precisamente aquellos que se pueden escribir a partir de números racionales usando un número finito de las cuatro operaciones básicas y raíces cuadradas.
