Todo lo anterior está muy bien, sólo que es muy abstracto. ¿Cómo imaginarse un número complejo? Para los números reales tenemos la recta real como objeto geométrico, que nos da una cierta posibilidad de imaginación e intuición. Para los números complejos hay también un modelo geométrico llamado el plano complejo, idea de Jean-Robert Argand —un suizo aficionado a las matemáticas—, donde cada número complejo x = a + bi está dado por dos números reales a y b, que podemos imaginar como coordenadas.
El eje que se dibujó horizontalmente es la recta real, mientras que el eje vertical o imaginario contiene los múltiplos de i. Ahora, debemos aclarar cómo se representan la adición y la multiplicación geométricamente.
De la fórmula (16), observamos que la adición se obtiene como la cuarta esquina de un paralelogramo, con sus otras tres esquinas 0, x y y . Formar geométricamente el inverso aditivo no es otra cosa que la reflexión en el punto 0. Para entender el significado de la multiplicación, tenemos primero que trabajar algebraicamente. Dado que cada número complejo x se encuentra en el plano, se puede representar en coordenadas polares al indicar, por un lado, la distancia al origen r, que también se llama el valor absoluto de x y, por el otro, el ángulo 
es decir, el ángulo que forman los puntos 1, 0 y x.
El número complejo con coordenadas polares r y φ es x = r (cos(φ ) + sen(φ )i). Las conversiones entre x = a + bi y la forma polar se calculan con las siguientes fórmulas:
Entonces podemos reescribir la fórmula de multiplicación (17) de la siguiente manera:
Esto significa que al multiplicar dos números complejos se multiplican sus valores absolutos y se suman sus ángulos.
Por último, regresamos al punto de partida. Al inicio del discurso, nos dejamos llevar hacia los números complejos con la finalidad de obtener raíces de números reales negativos. Ahora, queremos ver si podemos sacar la raíz cuadrada de cualquier número complejo o si es necesario extender nuestra noción de números una y otra vez.
Si queremos sacar la raíz cuadrada de un número complejo x, debemos encontrar otro número complejo y, tal que y · y = x. Con la intuición geométrica, esto ya no es difícil: usamos coordenadas polares para x —digamos que tiene valor absoluto r y ángulo φ —. Entonces, debe tener valor absoluto y
ángulo
. Observamos que siempre —salvo cuando x = 0— hay dos soluciones: una es el inverso negativo de la otra.
Al recapitular, tenemos que los números complejos son expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales que pueden sumarse y multiplicarse, restarse y dividirse. Por lo anterior, los números complejos forman un conjunto que los matemáticos llaman un campo y, además, tienen una representación geométrica: el plano complejo.
Todavía queda la duda de si estos números complejos son algo más que una invención medio rara para poder sacar la raíz cuadrada de cualquier número real. ¿Qué relevancia tienen? ¿Se aplican en algún lugar o son un mero juguete matemático? Hasta el principio del siglo XX, los números complejos no tenían gran interés fuera de las matemáticas. Sin embargo, en los años veinte del siglo XX se forjó la mecánica cuántica, una teoría que logra describir con gran precisión los fenómenos de las interacciones de partículas atómicas. Esta teoría usa los números complejos de una manera esencial: sin ellos, no se podría formular adecuadamente pues explica, en forma contundente, el sistema de los elementos químicos que antes se había formulado con base en observaciones.
