En el cambio de siglo del XIX al XX, ya se tenía claro que había una geometría aún más libre, donde los espacios se pudieran deformar sin romper su "continuidad" y se sentaron las bases formales para hacerlo: la topología. La intuición básica en esta área de las matemáticas es dejar de lado la noción rígida de distancia, pero mantener la de vecindad de los puntos, cambiar la cercanía estricta y rígida por una más laxa y flexible.
Veamos el ejemplo del toro plano. Lo teníamos como un cilindro de papel en R3 —figura 4.35—, donde había que identificar sus dos extremos circulares —esto es, unirlos punto por punto—; no nos atrevimos a hacer tal cosa, pues el papel o la pantalla de la computadora regían su geometría, importante en ese momento. Pero si lo imaginamos de un material elástico —idealmente flexible— como espacio topológico, podemos doblarlo y deformarlo, poco a poco, hasta identificar las dos bocas y obtener la superficie de una dona o una llanta, en la cual todas las identificaciones prescritas ya están hechas, según muestra la figura 4.41.
Se le llama el toro, sin apellidos. El toro plano es un toro topológico con una estructura extra: la variedad riemanniana que le da rigidez. La topología es algo más elemental o general, pero llegar a ella es, técnicamente, más complicado. Por eso, históricamente se dio después. Otro ejemplo indicativo es un cuadrado y un disco en el plano, donde es fácil concebir una deformación gradual de uno en el otro: aunque geométricamente sean distintos, topológicamente son equivalentes.
A la topología, que estudia los espacios en esta generalidad plástica, se le puede considerar como "la geometría del siglo XX", aunque tal nombre es injusto con la gran cantidad de áreas especializadas en las que se ha desarrollado la geometría.
Uno de los problemas que rigió el desarrollo de la topología en el siglo XX fue planteado por Henry Poincaré en 1905 y se le conoce como la conjetura de Poincaré. Ésta tiene que ver con una caracterización elegante de la esfera de dimensión 3, entre todas las variedades de dimensión 3 —o 3-variedades—. En la década de los ochenta, William Thurston demostró que la conjetura de Poincaré sería consecuencia de otra conjetura aún más osada: la de geometrización, que dice, a grandes rasgos, que cualquier 3-variedad topológica se puede partir en pedazos, cada uno modelado sobre una de 8 posibles "geometrías" tridimensionales —un ejemplo en dimensión 2 es el toro plano, que está modelado sobre el plano euclidiano.
En 2002, Grigori Perelman demostró la conjetura de geometrización. Todavía son pocos los matemáticos que entienden dicha demostración a cabalidad, pese a que la idea base sea comprensible. Una variedad riemanniana tiene una manera natural de homogeneizarse o de "acomodarse" y si la dejamos fluir —en su flujo de Ricci— tenderá a adquirir una estructura geométrica como la que previó Thurston. Por ejemplo, si empezamos con el toro de la figura 4.42, con la estructura riemanniana o geometría que se hereda de vivir en R3, los círculos horizontales del centro "querrían" crecer y los de afuera decrecer para parecerse entre ellos, pero los verticales se quedarían rígidos porque ya son iguales. Hacer todo esto a la vez en R3 es imposible; sin embargo, en abstracto o considerando una dimensión más, en R4, este toro tendería naturalmente a convertirse plácidamente en el toro plano.
En fin, los matemáticos ya tienen un catálogo de posibles formas que puede tener un universo tridimensional. Toca a los cosmólogos, como alguna vez lo intentó Gauss, decidir cuál se aproxima más al "real".
