Para describir un modelo del plano elíptico, nos conviene considerar primero un espacio en el que muchos han jugado. Entre los primeros juegos de computadora, hay uno en el que una navecita en la pantalla se mueve cambiando su dirección con las flechas y acelerando —por propulsión a chorro— con la barra espaciadora o alguna otra tecla. Con un impulso, la nave viaja inercialmente en línea recta pero, para que no choque con los bordes, el programa la hace aparecer del lado opuesto y viajando en la misma dirección. Así que si vamos a salir por arriba, aparecemos por abajo y si salimos por la derecha reaparecemos por la izquierda. El espacio donde se mueve la nave, y las rocas que hay que destruir a balazos, se llama el toro plano y se muestra en la figura 4.35.
No es difícil ver que el toro plano es un espacio de dos dimensiones donde cada punto tiene una pequeña vecindad, igual que si estuviera en el plano euclidiano; no importa dónde ande la navecita, "siente" que está en un plano. Este espacio también presenta ciertas nociones geométricas como distancias, ángulos y trayectorias inerciales o líneas, pero no cumple todos los axiomas de una geometría. Por ejemplo, no es cierto que haya una única línea entre dos puntos, como se muestra en la figura 4.36. Además, no se le puede sumergir en el espacio euclidiano de tres dimensiones sin deformar algunas de sus propiedades geométricas, de lo que hablaremos más adelante. Por el momento, nos interesa para usar la posible familiaridad personal con él como símil de nuestra siguiente definición.
El plano elíptico se obtiene a partir de media esfera, al identificar los puntos opuestos en su borde o frontera. Para fijar ideas, pensemos que la media esfera es el hemisferio norte, es decir, que el borde es el ecuador y está horizontal. Si una navecita viaja en el plano elíptico, al llegar al borde va de bajada, pero reaparece por la posición diametralmente opuesta y de subida. También podemos hacer que la nave viaje inercialmente a lo largo del ecuador y, en este caso, sólo la veríamos a la mitad, mientras que la otra mitad estaría justo del lado opuesto y viajando —en la misma dirección y con la misma velocidad—; después de "media" vuelta, la navecita estaría en el mismo lugar, pero sus lados se habrían intercambiado.
Las líneas del plano elíptico son los círculos máximos de la esfera o, mejor dicho, sus mitades; son las trayectorias inerciales que seguiría la nave. Parecen acabar en puntos opuestos del ecuador, pero éstos son en realidad el mismo punto. Ahora sí, tenemos una geometría "a la Euclides" con todas las de la ley, donde por cada par de puntos pasa una única línea y, al seguirla, se obtiene la trayectoria más corta entre ellos. A diferencia de los planos euclidiano e hiperbólico, las líneas en el plano elíptico no son infinitas sino circulares, en el sentido de que al viajar en ellas se regresa eventualmente al mismo lugar. Y se cumple que no hay paralelismo: cualquier par de rectas se interseca en un único punto.
Parecería que los puntos del ecuador —y que éste como línea— son diferentes a los demás. Pero no es así: para verlo, imaginemos que la media esfera es parte de una esfera completa de la que sólo vemos el hemisferio superior porque está incrustada en el plano opaco del ecuador —algo similar a las bolitas que, a veces, se usan como ratón—. Si la esfera gira libre y lentamente, los puntos que van desapareciendo debajo del plano son remplazados —y ahora representados— por sus correspondientes puntos antípodas que emergen por abajo y en el lado opuesto del ecuador, conforme a la regla de pegado de este espacio. Entonces, vemos al ecuador como un medio círculo cualquiera y se sigue que el plano elíptico es homogéneo, pues podemos moverlo rígidamente para llevar un punto hasta cualquier otro al girar la esfera; lo anterior quiere decir que todos los puntos son iguales y tienen pequeñas vecindades equivalentes a las de la esfera o, en otras palabras, que el espacio es localmente esférico y su geometría se "hereda" de la esfera.
Al girar un poco la esfera, observamos que sale un "gajo" o sector angular, cuya área es proporcional al ángulo de giro. Si suponemos que el radio de la esfera es 1, entonces su área total es 4π y, por lo tanto, el área del plano elíptico es la mitad o 2π. Así, el área de un sector angular de ángulo α es 2α.
Consideremos un triángulo en el plano elíptico con ángulos internos α, β y ϒ; y sea A su área. Si pintamos los tres sectores angulares con pintura, se pinta todo; pero el triángulo queda pintado con tres manos, mientras que el resto sólo con una. Al contabilizar la pintura total que se usó, se obtiene:
es decir, que:
Como el área A es positiva, ello implica que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano elíptico es mayor que π, además de que el exceso sobre π, es justo su área. Lo mismo vale para triángulos en la esfera.
