Como revisamos en la sección 1.3, Newton desarrolló el cálculo diferencial para estudiar el movimiento, el fenómeno de cambios continuos, y explicó de esta manera, con base en principios básicos, las leyes de Kepler. Aquí haremos algo distinto, pero no menos interesante: se discutirá cómo se pueden hacer verosímiles las leyes de Kepler a partir de principios geométricos. El desarrollo se basa en una idea del físico Richard Feynman. Es importante resaltar que se trata de consideraciones verosímiles y no de una demostración exacta; por ello, en casi todos lados tendremos aproximaciones —y usaremos el símbolo ≈ para denotarlo— y no igualdades exactas.
Un cuerpo que se mueve en el espacio sin ninguna atracción describe una trayectoria recta y se traslada distancias iguales en tiempos iguales. Es decir, en cada momento avanza la misma distancia respecto a un observador que se piensa inmóvil. Podemos observar que, en este caso, se cumple lo que enuncia la segunda ley de Kepler: el radio vector del Sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
Para cualquier punto del espacio O, el área del triángulo P1Q1O es igual al área del triángulo P2Q2O si P1, P2 marcan dos posiciones en la trayectoria y Q1, Q2 son las posiciones respectivas después de un intervalo Δt de tiempo.
Ahora analizamos un caso más complejo en el que, en algún momento, un asteroide golpea el cuerpo, lo que produce un cambio casi instantáneo en la dirección del movimiento,
es decir, en la velocidad. Obviamente, el cambio en la velocidad depende de la "intensidad" con la que golpeó el cuerpo y de la dirección del golpe. Pero aquí no nos interesa demasiado analizar el mecanismo del golpe, sino el efecto en la velocidad. Podemos simplificar el fenómeno y pensar que, en este momento, la velocidad se altera por la diferencia 
, es decir, la velocidad posterior al impacto 
se calcula a partir de la velocidad anterior 
:
Sabemos que las velocidades se suman formando el paralelogramo correspondiente, según se ve en la figura 3.26. De nuevo, nos preguntamos si es cierto que se cumple la segunda ley de Kepler para cualquier observador, es decir, si para cualquier punto O se tiene que el vector que une O con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La respuesta es negativa pues no se cumple para cualquier punto O, pero sí lo hace para puntos que están sobre la línea que marca el vector desde el punto P2 del impacto (véase figura 3.26).
se suma con la velocidad anterior para dar como resultado la velocidad posterior 
. Esta suma se forma al usar el paralelogramo con lados y .
Para simplificar el dibujo supusimos que el impacto se realizó justo en la posición P2. En vez de que el cuerpo siga hacia la posición Q2, éste ahora se encuentra en Q'2 después del mismo lapso Δt. Los dos triángulos P2Q2O y P2Q'2O comparten el lado OP2 y, además, tienen la misma altura —respecto a OP2— dado que Q2Q'2 es paralelo a OP2, porque está dirigido a O en el momento del impacto.
En las órbitas celestes se supone que la masa del Sol es muy grande y, por lo tanto, éste no se mueve y sólo atrae a los planetas hacia sí mismo. En realidad, también el Sol es atraído hacia los planetas pero esta atracción tiene un efecto pequeño sobre él y, en una primera aproximación, no hay que tomarlo en cuenta. Si nos imaginamos la fuerza gravitacional ejercida por el Sol sobre los planetas como una sucesión de pequeños golpes, cada uno de estos golpes produce un cambio de velocidad dirigido hacia el Sol. Por lo que vimos antes con el asteroide, esto tiene como consecuencia que el radio del Sol a la Tierra barre áreas iguales en tiempos iguales, según se muestra en la figura 3.27. Lo único que se usó hasta este momento en el argumento fue que tenemos una atracción central, es decir que la fuerza siempre se dirige al mismo punto O.
En realidad, la fuerza es continua y se ejerce todo el tiempo, pero imaginar que se trata de pequeños impactos nos permite aplicar la geometría y arribar a la segunda ley de Kepler de manera intuitiva y clara sin tener que usar herramientas matemáticas más avanzadas.
Ahora haremos una división diferente de la órbita. La dividimos en partes, llamadas sectores, tal que cada una de ellas incluya el mismo ángulo Δα en el punto O, como se muestra en la figura 3.28.
Por lo que vimos con anterioridad, el área es proporcional al tiempo transcurrido en la órbita. Regresamos de nuevo al punto de vista de que el cuerpo recibe impulsos instantáneos en ciertos momentos, que ahora ya no serán después de cierto tiempo sino cada vez que se cubre cierto ángulo. Esto permitirá emplear nuevamente conceptos de la geometría. La figura 3.29 muestra cómo cambian las velocidades 
Veremos que los cambios de velocidades 
, 
,... son iguales si estos cambios ocurren cada vez que se gira la órbita por el mismo ángulo. En otras palabras, se tiene
, donde las barras verticales indican que se considera solamente la longitud del vector, pero no la dirección. La aproximación tiende a ser una igualdad conforme el ángulo Δα se hace pequeño.
Para ello, necesitaremos por primera vez que la fuerza gravitacional que provoca la atracción sea proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. Según la ley fundamental de Newton, la fuerza 
es igual a la masa por la aceleración:
donde m es la masa del cuerpo y 
es la aceleración. Esta última es el cambio de velocidad. En nuestro modelo de golpes, la aceleración en el punto P1 es:
donde Δt1 es el tiempo que transcurre para que llegue el cuerpo del punto P0 al punto P1 . Como la masa es constante y la fuerza proporcional al cuadrado de la distancia r1 = OP1, se obtiene que:
Aquí, el símbolo α expresa la proporcionalidad, esto es que:
, (4)
siempre con la misma constante de proporcionalidad k.
Por otro lado, el área ΔA1 del triángulo OP0P1 es 
, donde se usa que 
es una buena aproximación para ángulos pequeños. En particular, el área ΔA1 es proporcional al cuadrado de la distancia r1, si el ángulo Δα se mantiene constante. Pero, por lo que vimos antes, esta área es también proporcional al tiempo Δt1. En conclusión, si Δα es constante, entonces:
y de aquí sigue que a partir de las ecuaciones (4), tenemos que:
Figura 3.30 Construcción del hodograma.
Ahora podemos dibujar el diagrama de las velocidades que se llama hodograma. Éste se obtiene al trasladar todas las velocidades que tiene el cuerpo a lo largo de su trayectoria de manera paralela, tal que todos los vectores empiecen en un mismo punto C, como se observa en la parte (b) de la figura 3.30. Se debe notar que los vectores en la parte (a) y (b) son paralelos. El vector que une la punta de con la de es , dado que 
, como se observa en la parte baja de la figura 3.30(a). En forma similar, 
une la punta de con la de 
.
Finalmente, a partir de todo lo que se ha argumentado se puede llegar a la siguiente conclusión: los vectores 
, ,... son todos igual de largos y, además, difieren en su dirección siempre por el mismo ángulo Δα, según se puede observar si se trasladan hasta el punto O; véase parte (a) en la figura 3.30. El resultado se muestra en la parte (c) de la misma figura. La conclusión es que la aproximación del hodograma formado por las puntas de los vectores 
,... es un polígono regular, dado que su contorno está formado por los vectores , ,... que, como ya dijimos, son igual de largos y siempre incluyen el mismo ángulo.
Al hacer más pequeño el ángulo Δα, el polígono regular se aproximará a una circunferencia. Concluimos que el hodograma es una circunferencia si el cuerpo se mueve en un campo de atracción central con una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Es importante observar que el punto C—el "origen" del hodograma— no es el centro de la circunferencia. Esto se puede ver en la figura 3.31. Pero todavía no hemos demostrado que las órbitas sean elípticas y la figura 3.31 es, meramente, una ilustración.
A cada punto P de la órbita le corresponde un punto del hodograma P', que se marca por la punta del vector de velocidad 
, que es la velocidad que tiene el cuerpo en el punto P. Por ejemplo, si P es el punto más a la derecha de la órbita en la figura 3.31, entonces P' es el punto más arriba en el hodograma.
Hemos visto que si dividimos la órbita en sectores de ángulos iguales, los puntos correspondientes en el hodograma forman un polígono regular que tiene también sectores de ángulo iguales Δα, si los sectores se miden con el centro Z del hodograma y no con el punto C (véase figura 3.32).
Finalmente, reunimos todos los elementos para poder llegar a la conclusión de que la órbita es realmente una cónica. Para ello, giramos el hodograma 90° y empalmamos el punto Z con el punto central O, como se muestra en la figura 3.33. Esto se hace con el efecto de empalmar los dos ángulos considerados anteriormente en la figura 3.32. Ahora se considera que el punto P' recorre el hodograma. Se traza la mediatriz t de CP' y se interseca con ZP' para obtener un punto P'', según se aprecia en la figura 3.33.
Como P' recorre una circunferencia con centro Z, la distancia d(Z,P') no cambia. Pero d(Z,P') = d(Z,P'') + d(P'',P') y, como t es mediatriz de CP', se tiene que d(P'',P') = d(P'',C). Por lo tanto:
d(Z,P'') + d(P'',C) = d(Z,P')
que es constante. En consecuencia, el punto P'' se encuentra en una elipse con los focos C y Z. Además, como se puede verificar en la sección cónicas, la mediatriz t es tangente a la elipse.
El girar 90° el hodograma tiene otro efecto grato: la velocidad del cuerpo en el punto P es paralela a t, dado que la velocidad se representa en el hodograma original —antes de girar— por el vector CP'. Hemos encontrado una trayectoria para el cuerpo: la elipse. El punto P'' se mueve sobre una elipse y la velocidad es, en cada momento, tangente a la trayectoria de P''.
Pero, en principio, estamos haciendo una barbaridad. El punto P'' pertenece a un diagrama de velocidades que es incomparable con un diagrama de posiciones si no se fija una escala común. Si invertimos el argumento, se puede aprovechar y decir que podemos fijar una escala tal que, en un momento, la posición P coincida con la de P''. Entonces, a partir de este momento, P y P'' se moverán al unísono: ambos se encuentran sobre ZP' por la igualdad de los ángulos β en los dos diagramas y ambos tienen, también, el mismo vector de velocidad. Como P'' se mueve por una elipse, lo mismo hace P.
Hemos llegado al final de la conclusión. Se quería demostrar que las trayectorias siempre son cónicas y encontramos lo que ocurre en el caso de las elipses, que se hizo para simplificar el argumento. Lo que se supuso sin argumento alguno es que el punto C está en el interior del hodograma. No obstante, habría que considerar realmente tres casos: cuando C está en el interior —esto nos da una elipse—, cuando C está sobre el hodograma —que nos dará una parábola— y finalmente, cuando C está afuera —que produce una hipérbola—. En cualquiera de estos casos se argumenta de manera similar, pero como la parábola y la hipérbola son curvas abiertas, corresponden a cuerpos que pasan al centro de atracción una sola vez y jamás regresan. Consecuentemente, las órbitas de los planetas y los cometas son elipses.
La argumentación anterior no es del todo sencilla, pero es interesante ver que es posible obtener una intuición geométrica del porqué de lo elíptico de las órbitas y no delegar nuestra comprensión a un cálculo diferencial que requiere familiaridad con herramientas más avanzadas, como los vectores.
Con ello, concluimos la argumentación geométrica que hace verosímiles las primeras dos leyes de Kepler a partir de dos principios: que hay una atracción central y que ésta es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. Esto es uno de los más grandes logros científicos de la humanidad.
