Quizá el resultado más general e importante de la teoría de la probabilidad es el que se denomina ley de los grandes números y afirma que, a la larga, la frecuencia observada de las ocurrencias de un evento se acerca o converge a la probabilidad del mismo evento. Esta convergencia es lo que da sentido y aplicabilidad a la teoría de la probabilidad. Sin embargo, el acercamiento puede ser muy lento y esa lentitud es causa de no pocos errores en la interpretación de los resultados. Las observaciones realizadas casi siempre parecen indicar que la realidad difiere mucho del modelo probabilístico, que no hay una buena relación entre las frecuencias observadas —los cocientes entre el número de observaciones favorables entre el total de observaciones— y las probabilidades. En muchas ocasiones, el resultado de un experimento aleatorio parece ser el de uno muy diferente al que estamos aplicando.
Por ejemplo, al realizar 10 veces el experimento de lanzar diez dados hemos obtenido los siguientes resultados:
En la primera línea no aparecen ni el 5 ni el 6, lo cual haría creer que se trata de los resultados de un dado tetraédrico —de cuatro lados— y no cúbico. La cuarta línea parece indicar que el 2 es altamente probable. Las frecuencias de aparición de cada número son:
y parecen indicar un fuerte sesgo hacia el 2 , como si el dado estuviera "cargado" favoreciendo al 2 sobre los otros números. Si hiciéramos otra vez el mismo experimento podríamos observar ciertas peculiaridades, distintas en cada ocasión.
Si repetimos muchas veces el experimento y calculamos las frecuencias para 10 000, 1 000 000, 100 000 000 observaciones, veremos que difieren cada vez en menos de 
. No obstante, para llegar a observar claramente esta convergencia sería necesario recurrir a muchísimas observaciones.
En general, dos motivos contribuyen a la impresión de que las muestras resultantes de un experimento aleatorio no son tan aleatorias como se esperaría. Primero, la mente humana está entrenada para detectar irregularidades y, al observar un campo aleatorio, lo regular es precisamente lo que resalta. El segundo es que en muestras relativamente pequeñas es altamente probable que haya alguna desviación importante.
Se sabe de experimentos famosos en que el investigador manipuló ligeramente los datos para que señalaran con mayor claridad el resultado que se deseaba probar. En realidad, para probar una hipótesis en situaciones aleatorias es necesario recurrir a los métodos de la estadística, diseñados para tomar en cuenta la ley de los grandes números y, a pesar de la lentitud de la convergencia, se pueden obtener resultados confiables.
Para aplicar la teoría de la probabilidad a la vida cotidiana se requiere tener muy clara la lentitud con la que las frecuencias convergen a las probabilidades y también que, aunque los eventos poco probables ocurren escasas veces, hay muchos —por lo tanto la probabilidad de observar alguno de ellos es bastante alta. Para aclarar este último punto, recurramos al clásico ejemplo conocido como la paradoja del cumpleaños.
