Una muestra sencilla de un experimento aleatorio —donde el espacio muestral sea infinito— es el lanzar rodando por el suelo una canica hacia un punto en la base de una pared, y registrar, para cada lanzamiento, el punto en el que la canica toca la pared. Si los lanzamientos los hace siempre la misma persona, es posible construir un modelo matemático que se aproxime bastante a la realidad. Comencemos haciendo algunas simplificaciones: supongamos que las canicas llegarán con igual probabilidad a la izquierda y a la derecha del blanco —que está ubicado en el punto b—. En segundo lugar, supondremos que es más probable que caigan en un intervalo A cercano a b , que en otro intervalo B de la misma longitud pero alejado de b . Necesitamos una función que sea simétrica respecto al origen, que sea mayor a medida que nos acercamos a b y menor mientras nos alejamos, y que el área bajo su gráfica sea igual a 1. Todas estas propiedades las satisfacen las funciones definidas para cualquier número positivo σ.
A la función Nb,σ(x) se le llama de distribución normal con media b y varianza σ2. También se le conoce como la función gaussiana —en honor a Gauss— o distribución de campana, debido a la forma de su gráfica parecida al perfil de una campana. En la figura 2.80 se muestran tres ejemplos de estas funciones con un mismo valor de b = 0 y distintos valores de σ.
La gráfica con varianza pequeña de σ = 0.5 corresponde a un lanzador de canicas con buen tino, la de varianza a = 1 a un jugador medio, y la de varianza a = 1.5 a uno bastante errático. Supongamos que el jugador de nuestro experimento tiene buen tino, por lo que su varianza es σ = 0.5 . La probabilidad p([x1, x2]) del evento que consiste en que la canica caiga en el intervalo [x1, x2] está dada por el área bajo la gráfica de la curva normal N0,0.5 entre x1, x2> —sombreada en la figura 2.81—, lo cual se representa con la integral definida:
y se ilustra como el área bajo la curva en la figura 2.81.
Calcular estas integrales es difícil, antes se hacía usando tablas y hoy en día puede recurrirse a la computadora. La clave es que nuevamente pudimos aplicar el modelo general. En este caso, la medida de probabilidad p se definió mediante una integral definida, es decir, como el área bajo una curva.
Las medidas de probabilidad que se utilizan en las diferentes aplicaciones de la teoría llegan a definirse incluso en espacios de dimensión infinita —como ocurre cuando se modelan los llamados procesos estocásticos— en los que cada elemento del espacio muestral puede ser, por ejemplo, una curva.
