Supongamos que dos personas deciden participar en un juego que consiste en lanzar cinco veces una ficha al aire. Cada una aporta 50 fichas. Si salen más caras o soles que cruces o águilas, el primer jugador se llevará todas las fichas; en caso contrario, se las llevará el segundo jugador. Cuando se han lanzado 3 fichas y se ha visto que 2 son cara y 1 cruz, tiene que suspenderse el juego. ¿Cuántas fichas debe llevarse cada jugador?
Está claro que al parar quien tenía mayor probabilidad de ganar era el primer jugador, y por lo tanto parece justo que él se lleve más fichas que el segundo. Un árbitro imparcial podría decidir que el primer jugador se lleve todas las fichas, ya que en el momento de suspenderse el juego él llevaba ventaja, pero al segundo jugador esta decisión le parece injusta porque aún tenía posibilidades de ganar. El árbitro puede decidir también que, como el juego se suspendió, cada jugador recupere sus 50 fichas; el primer jugador protesta argumentando que esa repartición hubiera sido justa si el juego nunca hubiera comenzado, o se hubiera suspendido cuando se habían tirado dos fichas —una cara y la otra cruz—, pero que en la situación actual se está ignorando la ventaja que evidentemente él llevaba.
A estas alturas parece más justo decidir que cada quien se lleve un número de fichas proporcional a la probabilidad que tenía de ganar en el momento en que se detuvo el juego. Esto requiere esclarecer el concepto de probabilidad y encontrar cómo calcularla numéricamente, y es a lo que Fermat y Pascal se abocaron en su correspondencia. Para abordar la situación sería necesario superar acaloradas discusiones y, finalmente, acordar algunos puntos. Uno es que el resultado parcial de dos caras y una cruz no tiene ningún valor predictivo sobre los dos siguientes lanzamientos —pueden caer tanto cara como cruz—. Lo siguiente es cómo debería calcularse la probabilidad de que el vencedor fuera el primer jugador. Para ello, se calcula el número de casos que lo llevarían a ganar y el resultado se divide entre el número total de casos posibles —esto es válido sólo bajo la hipótesis de que todos los casos posibles sean igualmente probables—. Siguiendo esta línea de argumentación, los dos siguientes lanzamientos darían un total de cuatro posibles resultados:
cara cara
cara cruz
cruz cara
cruz cruz
Como se observa, 3 de ellos darían la victoria al primer jugador y sólo 1 al segundo. Por tanto, la probabilidad de que el vencedor sea el primer jugador es de 
, mientras que la del segundo jugador es de 
, lo cual significa que uno debe llevarse 75 fichas y el otro 25. Sin embargo, si las reglas del juego cambian un poco, el problema se complica considerablemente: cabe mencionar que en matemáticas se define la probabilidad de cualquier evento como un número entre 0 y 1 que, si se multiplica por 100, representa una estimación del porcentaje de casos favorables respecto al total.
Supongamos que hay tres jugadores —A, B y C— que ponen la misma cantidad de fichas al jugar a los dados. Deciden otorgarse puntos de acuerdo con la siguiente regla: el jugador A gana un punto cuando el dado cae en 1 o 2, el jugador B lo gana cuando el dado cae en 3 o 4, y el jugador C si cae en 5 o 6. El juego termina cuando algún jugador ha ganado tres puntos y se lleva todas las fichas.
Supongamos que, en un momento dado, A tiene dos puntos y B y C tienen un punto cada uno y deciden suspender el juego. ¿Cómo repartir el lote de fichas? Habría que considerar todas las opciones posibles para cada una de las siguientes tiradas y calcular las probabilidades de que cada jugador resulte ser el vencedor en esa jugada. La siguiente tabla muestra los posibles resultados de los siguientes tres lanzamientos; la letra A, B o C indica para quién fue el punto en esa tirada.
Ahora hay que contar cuántos de estos 27 casos dan la victoria a cada jugador. Para facilitar la cuenta se ha marcado con negritas cuando el jugador, en ese paso, es ya el ganador. Todos los casos debajo de una letra marcada con negritas le darían la victoria al mismo jugador y de hecho, en la práctica, esas jugadas ya no se llevarían a cabo. El resultado es:
17 dan la victoria a A
5 dan la victoria a B
5 dan la victoria a C
Por lo tanto, al suspenderse el juego A debe llevarse 
fichas del lote, mientras que B y C tendrán 
fichas cada uno. En números: si cada jugador hubiera apostado 9 fichas —el lote completo sería de 27 fichas—, A debería quedarse con 17, B con 5 y C con las otras 5.
Llegar a esta solución llevó a Pascal y Fermat —dos de los matemáticos más reconocidos de la historia— un esfuerzo considerable, pero su relevancia es crucial ya que señaló el camino hacia un método general para calcular las probabilidades que puede explicarse de manera muy sencilla:
La probabilidad de un evento es el número de casos favorables dividido por el número total de casos, siempre y cuando todos los casos sean igualmente probables.
Éste es el principio básico que sirve como fundamento al cálculo de probabilidades aplicado a los juegos de azar y a muchas otras situaciones en las que es posible construir un modelo basado en casos equiprobables, es decir, que tienen la misma probabilidad. En algunas situaciones concretas, llevar a cabo este cálculo puede ser extremadamente complicado, pero la regla siempre es clara. Quien desee calcular probabilidades debe entender bien este principio.
