Galilei argumentó que el movimiento sobre la superficie de la Tierra encuentra en la dirección vertical hacia la Tierra una aceleración constante y, que esto, resulta en una función cuadrática:
z(t) = at2 + bt + c (9)
para la altura z(t) y en función del tiempo t . Sin embargo, la dirección horizontal no experimenta aceleración alguna. Se trata de un movimiento uniforme y la posición cambia de manera lineal:
h(t) = dt + e .
Si d ≠ 0 , entonces es posible despejar la variable t que luego se puede sustituir en (9). Lo que resulta es una ecuación de la forma:
z = a'h2 + b'h + c',
donde a', b' y c' son coeficientes reales. Como vimos antes, esta expresión corresponde a una parábola. El movimiento sobre la superficie terrestre —de cualquier cuerpo pesado y extenso— es, en muy buena aproximación, parabólico —no toma en cuenta la fricción del aire, el hecho de que la Tierra sea redonda ni el que "vertical" en un lugar determinado no es paralelo a "vertical" en otro, por lo que no se trata de una ecuación en un sistema de coordenadas ortonormales —ejes verticales con la misma escala.
Con más trabajo se puede ver que la primera ley de Newton tiene como consecuencia el que cualquier cuerpo que orbita un cuerpo pesado —que atrae todos los cuerpos hacia sí— tiene que viajar a lo largo de una trayectoria, que resulta ser una cónica. Como la única cónica que describe una trayectoria cerrada es la elipse —y la circunferencia, como un caso particular—, se obtiene que los planetas giran en elipses alrededor del Sol.
Por último, vale la pena repasar lo que se hizo en esta sección. Las cónicas se definieron como secciones cónicas; después se usaron las esferas de Dandelin para deducir la descripción de las cónicas como lugares geométricos —los griegos ya conocían estas propiedades, aunque Dandelin vivió en el siglo XIX—. En la actualidad se usa el argumento de Dandelin porque es más "elegante", es decir, más corto que los argumentos que dieron los griegos para concluir lo mismo. Al final, esbozamos el tratamiento de las cónicas desde el punto de vista de la geometría analítica, usando ecuaciones. La geometría analítica tiene su origen en el siglo XVII con trabajos de Descartes y de Fermat —quien demostró que cualquier ecuación de segundo grado con dos variables describe una cónica.
Como se puede ver, el discurso dio unos saltos para adelante y para atrás en el tiempo y no siguió el desarrollo histórico. Esto es completamente intencional: un tratamiento histórico sería otra cosa. Pero, ¿por qué habrá introducido Dandelin sus esferas si ya se conocían las propiedades? En matemáticas, la historia nunca acaba, siempre se puede repensar un tema y verlo desde otro ángulo. Los objetos de las matemáticas están tan intensamente interrelacionados que, a veces, resulta que lo que era la causa se transforma en la consecuencia.
