2.13.5 Ecuaciones de segundo grado

La última parte de la descripción de las cónicas es la analítica, es decir, queremos describir las cónicas con ecuaciones. Para ello usamos la descripción de las cónicas como lugares geométricos, mediante un foco y la directriz correspondiente. Por consiguiente, la cónica es el conjunto de puntos Q tal que se satisface la ecuación: d|Q, F| = εd|Q, d|, dónde ε es la excentricidad, F Q es un foco y d la directriz correspondiente.

Podemos elegir nuestro sistema de coordenadas de manera que los cálculos sean lo más sencillos posible. Una manera de hacerlo es al poner el origen en el foco y exigir que la directriz sea paralela al eje de coordenadas x. Entonces, calculamos las dos distancias y d|Q, d| = y + k donde k = d|F, d|.

Figura 2.73 Distancias al foco y a la directriz de un punto Q.

Al sustituir estas expresiones en (7) y elevar al cuadrado, se obtiene:

x² + y² = ε²y² + 2ε²ky + ε²k² .

Como ε y k son números fijos para cada cónica dada, se puede escribir esta ecuación como:

x² + (1 − ε²)y² + (−2ε²k)y + (−ε²k²) = 0          (8)

Si definimos a = 1, b = 0, c = 1 − ε², d = 0, e = −2ε²k,  f = −ε²k², entonces vemos que la expresión (8) es un caso particular de la ecuación general de segundo grado en dos variables:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0.

Debe resaltarse que ya demostramos que cada cónica puede escribirse de la forma a = 1, b = 0 , d = 0.

No es tan claro que cualquier ecuación de segundo grado con dos variables define una cónica. En efecto, se puede demostrar que siempre define una cónica, pero la demostración es bastante larga y engorrosa.

La idea es cambiar el sistema de coordenadas de tal manera que la ecuación se simplifica lo suficiente como para reconocer que, en efecto, se trata de una cónica. Resaltamos aquí que, en ciertos sistemas de coordenadas, las ecuaciones de las cónicas toman una forma muy especial. Por ejemplo, cualquier ecuación de la forma:

y = ax² + bx + c,

con a ≠ 0 , define una parábola. Podemos cambiar el sistema de coordenadas para escribirla en forma aún más sencilla, como:

y = ax².

Para la elipse, se puede encontrar un sistema de coordenadas de manera que la ecuación toma la forma:

y la hipérbola se representa como:

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