Recordemos que la elipse es el lugar geométrico de los puntos que tienen una constante suma de distancias h a los dos focos. De esta manera, el plano se divide en curvas de nivel para diferentes valores de h.
Veamos cómo esta división del plano en curvas de nivel tiene una consecuencia inesperada: cualquier rayo que sale de uno de los focos, es reflejado en la elipse —como si fuera un espejo— y llega justo al otro foco. Esto se conoce como la propiedad de la reflexión de la elipse.
Para entender esta propiedad, consideremos la elipse definida para un valor h. Ahora bien, si Q es un punto de la elipse, entonces definimos como b a la recta que pasa por Q e interseca a la rectas F1Q y F2Q con el mismo ángulo. Es decir, b es el espejo para que el rayo F1Q se refleje en Q hacia el punto F2, como se observa en la figura 2.71. Luego definimos al punto L como el reflejo de F2 en b. Por ello, se tiene que d|Q, F2| = d|Q, L| y entonces:
d|F1, Q| + d|Q, L| = d|F1, Q| + d|Q, F2| = h.
Falta demostrar que b es tangente a la elipse, es decir, que cualquier punto R de b —con R≠Q— está afuera de la elipse, o dicho de otra manera, que d|R, F1| + d|R, F2| > h. Por lo anterior, sigue que d|R, F2| = d|R, L| por la desigualdad del triángulo en ΔF1LR, el lado F1L tiene menor longitud que la suma de los lados F1R y RL. Si juntamos ambos argumentos obtenemos que:
d|R, F1| + d|R, F2| = d|F1, R| + d|R, L| > d|F1, Q| + d|Q, L| = h.
lo cual muestra que b es tangente a la elipse.
La propiedad de reflexión se usa en la práctica, por ejemplo, en hornos especiales que tienen una forma de elipsoide —un cuerpo que se obtiene al rotar una elipse en el espacio por el eje F1F2 —, donde en un foco se coloca una fuente de calor y en el otro, el objeto a calentar. Otro caso ocurre en el Desierto de los Leones, donde la bóveda elipsoidal de la "Capilla de los susurros" tiene el siguiente efecto: lo que susurra una pareja en uno de sus focos, se escucha perfectamente bien en el otro.
De manera similar se puede ver que en la parábola hay una propiedad de reflexión. Si Q es un punto de la parábola, dibujemos a la recta b que pasa por Q, tal que incluya los mismos ángulos con F Q y QL —donde F Q es el foco y L el pie de la perpendicular a la directriz d por Q— como se observa en la figura 2.71. Sólo hay que demostrar que b es tangente para terminar de concluir que el reflejo de F Q en la parábola es perpendicular.
El hecho de que b sea tangente se verifica de manera sencilla: para cualquier punto R de b —con R≠Q —, se tiene que d|F, R| = d|L, R| > d|L', R| donde L' es el pie de R en d. Por lo tanto, R está bajo la parábola.
Esta particularidad de la parábola se aplica en los faros de los automóviles que son paraboloides, es decir, tienen la forma que se obtiene al rotar una parábola en su eje de simetría. El foquito luminoso se coloca en el foco del paraboloide y, de esta manera, se obtiene un haz de luz que se dispersa muy poco y puede alumbrar lejos. El mismo efecto pero a la inversa se usa en las antenas de astronomía y también en las que reciben señales de satélites para la televisión. En ambos casos se reflejan ondas que llegan prácticamente paralelas en un paraboloide que los hace converger en el foco donde se encuentra el receptor. Dicha manera de agrupar los rayos tiene el efecto de multiplicar la señal, es decir, de aumentar su intensidad.
