Cada esfera de Dandelin toca al cono en una circunferencia e , que está en un plano A perpendicular al eje l. Si se interseca A con el plano B definido por la cónica, se obtiene una línea d llamada directriz. En consecuencia, una elipse y una hipérbola tienen dos directrices, la parábola tiene una y la circunferencia ninguna.
Ya vimos que cada punto Q de la cónica satisface d|Q, F | = d|Q, K|, donde K es el punto de intersección de e con la recta P Q y F es el punto donde la esfera toca al plano de la cónica. Sea x la distancia del punto Q al plano A. Por lo tanto, se tiene que x = cos(α)d|Q, K| (aquí recordamos que α es el ángulo entre la recta PQ y el eje l). Sea L el punto de la directriz más cercana al punto Q —en consecuencia, QL y d son perpendiculares—, entonces x = cos(β)d|Q, L|, donde β es el ángulo entre l y B . De ahí obtenemos que:
El valor ε es la excentricidad de la cónica. La siguiente tabla muestra la excentricidad para los diferentes casos.
Lo anterior nos proporciona una descripción de la parábola como lugar geométrico: la parábola es el lugar geométrico de todos los puntos Q, tal que d|Q, F | = d|Q, d|, donde el punto F es el foco y la recta d es la directriz de la parábola.
Los planetas orbitan alrededor del Sol siguiendo trayectorias elípticas. Esto fue un hallazgo importante para la cultura y más aún si vemos que las elipses son casi circunferencias —se trata de elipses con excentricidad muy baja—. Por ejemplo, la órbita de la Tierra tiene una excentricidad de ε = 0.0167, mientras la de Marte es de ε = 0.0933.
