Fue idea del matemático belga Germinal Pierre Dandelin insertar dos esferas en el cono que tocan el plano de intersección dado. La figura 2.67 muestra un caso donde la cónica es una elipse. Estas esferas tocan al cono en una circunferencia e y al plano que define la cónica en un punto F.
Todas las tangentes de una esfera —desde un punto fijo— tienen la misma longitud. Las dos esferas tocan al cono en dos circunferencias, e1 y e2 —donde cada una está formada por puntos que se encuentran a la misma distancia de P—. Por ello, para cada punto Q de la elipse, la distancia K1, K2 es la misma —K1 y K2 son los puntos de las circunferencias e1 y e2 que están sobre la recta PQ—. Como QK1 y QK2 son tangentes de la misma esfera, miden lo mismo. En forma similar, QK2 mide lo mismo que QF2, por lo tanto:
d |Q, F1| + d |Q, F2| = d |Q, K1| + d |Q, K2| = d |K1,K2| = const. (7)
Los dos puntos F1 y F2 son los focos de la elipse. La propiedad de la elipse como lugar geométrico se enuncia como sigue: la elipse es el lugar geométrico de todos los puntos Q, tales que d |Q, F1| + d |Q, F2| = h
Lo anterior quiere decir que la condición d |Q, F1| + d |Q, F2| = d define a todos los puntos de la cónica. Esta propiedad de la elipse se conoce como "la construcción del jardinero", pues se puede trazar una elipse con un hilo amarrado en los cabos a dos postes en el piso —mientras que el hilo esté flojo— al tensar el hilo hacia afuera.
El concepto de lugar geométrico es importante en la geometría, dado que es un objeto geométrico definido como un conjunto de puntos que satisfacen alguna propiedad determinada. La siguiente lista muestra algunos lugares geométricos:
1. Dado un punto M y una distancia d, el lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia d de M es una circunferencia con centro M y de radio d.
2. Dados dos puntos A y B, el lugar geométrico de todos los puntos P, tal que d |P, A| = d |P, B| es una recta —la mediatriz— del segmento AB.
3. Dadas dos rectas a y b que se intersecan en P, el conjunto de puntos Q, tal que d |P, a| = d |P, b|, son dos rectas perpendiculares —la unión de las dos bisectrices de a y b.
4. Dado un segmento AB, el lugar geométrico de puntos C, tal que ∠ACB= 90°, es una circunferencia con diámetro AB.
5. Dadas dos circunferencias que no se intersecan c1, c2, el lugar geométrico de todos los puntos P, tal que la tangente de P a c1 tenga la misma longitud que la tangente de P a c2, es una recta.
El argumento para la hipérbola es similar, sólo que ahora es una diferencia:
|dQ, F1 - dQ, F2| = |dQ, K1 - dQ, K2| = |dK1, K2| = const.
Consecuentemente se tiene la siguiente caracterización: la hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos Q, tal que |dQ, F1 − dQ, F1| = h.
El valor absoluto de la diferencia se requiere para obtener ambas ramas de la hipérbola. En el caso de la parábola sólo hay una esfera de Dandelin y la descripción geométrica como lugar geométrico se obtendrá más tarde.
A la mitad del siglo XX, se empezó a instalar un sistema de ubicación en alta mar que se llama LORAN —el nombre viene del inglés long range navigation — donde se emiten señales desde puntos fijos en la costa. Un barco recibe estas señales en tiempos distintos y puede, a partir de la diferencia de tiempo, calcular la diferencia de distancia. Se sabe entonces que el barco se encuentra sobre una hipérbola. Con las señales de tres emisores se puede calcular una ubicación con buena precisión. El sistema LORAN dejará de operar durante el año 2010, dado que el GPS —del inglés global positioning system — otorga una posición mucho más precisa.
