Las cónicas son curvas en el plano que aparecen en diferentes contextos —como en la naturaleza y en la tecnología— y están presentes en muchos objetos de uso diario —por ejemplo, en los faros de los automóviles. Su popularidad se debe a un efecto similar que se describió en la esfera de la sección 1.3.1: cumplen muchas propiedades y éstas las definen de manera definitiva. En esta sección revisaremos varios de esos aspectos.
Se cree que el primer estudio sobre cónicas lo hizo Menaechmus, para resolver el problema de la duplicación del cubo —véase también sección 4.2. Aquí empezaremos un poco distinto y tomaremos un primer acercamiento a las cónicas según el origen de su nombre: las secciones cónicas, es decir, las secciones con un cono. Cabe agregar que, en dicho acercamiento, se usa el espacio para definir estas curvas.
Primero, se construye un doble cono: se fija una recta l, el eje, un punto P sobre l y un ángulo α, tomando en cuenta que 0° < α < 90°. Entonces, consideramos todas las rectas que pasan por P e inciden en l con un ángulo α. Podemos pensar que tomamos una de estas rectas, la llamamos k y la rotamos alrededor de l. Lo que obtenemos es un doble cono, como se observa en la figura 2.64.
Una sección cónica es la intersección de un doble cono con un plano y en la figura 2.65 se muestran varios casos típicos. Veamos primero los posibles casos, cuando el plano pasa por P: la sección cónica podrá ser un punto, una recta o un par de rectas que se intersecan. Estos casos se llaman cónicas degeneradas. Más interesante es cuando el plano no pasa por P y obtenemos cuatro casos distintos:
1. Si el plano es perpendicular al eje l, entonces la cónica resultante será una circunferencia.
2. Si el plano se inclina un ángulo mayor que α pero menor de 90°, entonces la cónica será una elipse.
3. Si el plano se inclina exactamente por el ángulo α, es decir, si algunas de las rectas que definen el doble cono es paralela al plano, entonces la sección resultará ser una parábola.
4. Si la inclinación del plano con respecto a l es menor que α, se obtendrá una hipérbola. La hipérbola no es conexa, sino que consiste de dos ramas.
Podemos ver secciones cónicas en diferentes lugares. Una lámpara de mesa con una sombrilla de apertura circular proyectará —sobre la mesa o una pared cercana— luz en ciertas áreas, mientras otras partes quedarán oscuras. La curva divisoria entre luz y sombra será siempre una cónica. La razón para que ocurra lo anterior es sencilla: la mesa o la pared es plana y la luz se emite en un cono.
Otro ejemplo son los "spots" empotrados en el techo de muchos cines, que proyectan luz sobre una pared vertical formando parte de una hipérbola.
