2.11 Cilindros, conos y esferas

Arquímedes de Siracusa —sin duda el matemático más importante de la Antigüedad— quiso que, como único epitafio en su tumba —encontrada efectivamente con esa inscripción en la isla de Sicilia—, se dibujara una esfera inscrita en un cilindro junto con la relación que había descubierto entre las áreas y los volúmenes de estas figuras. Consciente de ser un gran matemático, Arquímedes se ufanaba de ello y ese resultado suyo era del que más orgulloso se sentía. Y no es para menos. Desde la escuela primaria sabemos las fórmulas para calcular las superficies y volúmenes de cilindros, conos y esferas, pero nunca nos explican cómo se obtienen, sólo nos dan las fabulosas recetas. A continuación repasaremos esas fórmulas, explicando cómo se obtiene cada una de ellas.

Figura 2.44 Busto de Arquímedes en la medalla Fields, reconocimiento internacional que se otorga cada cuatro años por descubrimientos sobresalientes en matemáticas.

Para el caso del cilindro, la fórmula se justifica con facilidad. Si se corta la figura a lo largo de una de sus alturas y se extiende hasta dejarla plana, se obtiene un rectángulo cuya base es el perímetro 2πr de la base del cilindro, y cuya altura es la misma del cilindro: h y, por lo tanto, su superficie es 2πr · h .

Un cono circular recto se caracteriza por tener una base circular y el vértice situado sobre la recta perpendicular a la base, que pasa por su centro. Las aristas de estos conos tienen todas la misma longitud.

Figura 2.45 La superficie del cilindro con radio r y altura h es 2πrh.

Figura 2.46 De izquierda a derecha, se muestra un cono, un cono circular y un cono circular recto.

Un cono circular recto de lado L puede construirse a partir de un sector circular de radio L y, por lo tanto, su área es igual a la del sector circular, o sea, la mitad del perímetro por el radio.

Figura 2.47 Sector circular obtenido al extender un cono.

Como el perímetro es 2πr, donde r es el radio de la base circular del cono y L el radio, entonces el área del cono es S = πrL.

Figura 2.48 Superficie del cono de lado L y con radio de la base igual a r: S = πrL.

Para estudiar la superficie de una esfera, Arquímedes la aproxima por medio de sectores cónicos. Un sector de cono circular recto es la parte del cono comprendida entre dos planos paralelos a su base, como se muestra en la figura 2.49.

Figura 2.49 Sector de cono circular recto, de radio r y ancho ΔL.

El área ΔS de un sector cónico con radio medio r y ancho ΔL es igual al perímetro de la circunferencia media por el ancho, es decir:

ΔS = 2πr · ΔL

Este importante resultado puede obtenerse intuitivamente sumando las áreas de una infinidad de trapecios de ancho infinitesimal y altura ΔL. La suma de los anchos medios de los trapecios sería igual al perímetro de la circunferencia media 2πr. También puede obtenerse mediante un cálculo exacto considerando al sector cónico como la diferencia de dos conos: uno cuyo radio de la base es y su lado es y otro cuyo radio de la base y su lado es . Al aplicar la fórmula para las áreas de ambos conos y restarlas, se obtiene:

Por semejanza de triángulos se tiene que y, por lo tanto, LΔr = rΔL. Al sustituir en (6) tenemos ΔS = 2πr · ΔL, que es lo que se deseaba demostrar.

Figura 2.50 Sector de cono circular recto, de radio r, ancho ΔL y altura h, que es tangente a una esfera de radio R.

Si un sector cónico de radio medio r y ancho ΔL es tangente a una esfera de radio R —precisamente a lo largo de la circunferencia media, como muestra la figura 2.50—, entonces el área ΔS del sector cónico es igual a:

2πr∙ Δh

donde Δh es la altura del sector. En efecto, para demostrar esto basta ver que, por semejanza de triángulos,

Estamos ya en condiciones de calcular el área de una esfera tal como lo hizo Arquímedes. Para hacerlo, ahora nosotros, cubrimos la esfera con sectores cónicos tangentes a ella, como se ilustra en la siguiente figura:

Figura 2.51 Esfera cubierta por sectores circulares cónicos tangentes a ella.

Ya que todos los sectores cónicos son tangentes a la esfera de radio R, sus áreas son ΔS_i= 2πR · Δh_i, donde Δh_i son las alturas de los diferentes sectores cónicos. La suma de todas estas áreas es igual a:

∑ΔS_i = 2πRH

donde H es la altura total de la cubierta de la esfera. Obsérvese que 2R < H, y que H puede hacerse tan cercana a 2R como se desee, utilizando una cubierta suficientemente fina. Por lo tanto, el área de la esfera satisface la desigualdad:

S ≤ 4πR² .

De manera análoga, al inscribir en la esfera los sectores cónicos, se demuestra la desigualdad contraria: 4πR² ≤ S y, por consiguiente,

S = 4πR² .

En otras palabras, el área de la esfera es igual al cuádruple del área de uno de sus círculos máximos. Otra manera de interpretar el resultado es diciendo que el área de la esfera es igual a la del mínimo cilindro que la contiene, sin contar las tapas, o bien, que el área de la esfera es del área del cilindro que la contiene, si se incluyen las tapas.

Figura 2.52 Superficies S_E de la esfera y S_C del cilindro: S_E : S_C = 2 : 3.

Ésta es la figura y la relación que debían aparecer como epitafio en la tumba de Arquímedes, de acuerdo con sus propios deseos y, también, de acuerdo con el testimonio de Cicerón —que visitó la tumba del gran matemático dos siglos después de su muerte—. Como veremos más adelante, la relación de se da entre los volúmenes de las mismas figuras.

El área de un casquete esférico, que consiste en la parte de una esfera que se encuentra arriba de un plano horizontal —como se muestra en la figura 2.53—, es igual a la de la circunferencia, cuyo radio es la distancia L del polo norte a cualquiera de los puntos de la orilla, es decir, S = πL² .

Figura 2.53 Un casquete esférico es la parte de la superficie de una esfera, cortada por un plano que pasa arriba del ecuador.

La prueba de este resultado se hace cubriendo la superficie esférica con sectores cónicos, como se hizo con anterioridad para toda la esfera. Así, se obtiene que S = 2πRH, donde H es la altura de la superficie esférica. Por el teorema de Pitágoras:

L² = H² + r² = H² + R²− (R − H)² = 2RH..

Sustituyendo esta igualdad en la fórmula anterior se obtiene el resultado anunciado: S = πL².

Pasemos ahora al cálculo de los volúmenes del cilindro, el cono y la esfera. El caso del cilindro es muy sencillo pues todas sus secciones paralelas a la base son círculos del mismo radio —esto es, tienen la misma área A= πr²— y, por lo tanto, el volumen es el producto de esta área por la altura h, es decir:

Figura 2.54 Volumen del cilindro de altura h y radio r : V = πr²h .

Para obtener el volumen del cono, se recurre a pirámides inscritas y circunscritas, como muestra la figura 2.55, y se utiliza el resultado conocido de que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura.

Figura 2.55 Cono con una pirámide inscrita y otra circunscrita.

Esto permite demostrar que lo mismo sucede para un cono, como se muestra en la figura 2.56.

Figura 2.56 Volumen del cono de altura h y radio

Para obtener el volumen de la esfera, Arquímedes utilizó un truco muy ingenioso que consiste en comparar las secciones que se obtienen al cortar por un plano horizontal a un cono, una semiesfera y un cilindro, como se muestra en la figura 2.57.

Figura 2.57 Cortes de un cono, un hemisferio y un cilindro por un plano.

La suma de las áreas de las secciones sobre el cono y la semiesfera es igual al área de la sección del cilindro, y esto sucede para todos los cortes. Por consiguiente, se puede deducir que el volumen del cono más el de la semiesfera es igual al del cilindro, es decir, si denotamos por V el volumen de la semiesfera, entonces:

Por lo tanto,

y en consecuencia, el volumen de la esfera es el doble:

Figura 2.58 Volumen de la esfera de radio

Comparando el volumen de la esfera con el del cilindro de radio R y altura 2R —que vale 2πR³ —, observamos que:

Figura 2.59 Volúmenes V_E de la esfera y V_C del cilindro: V_E : V_C = 2 : 3 .

y entonces, se cumple la misma relación 2 : 3 que se obtuvo para las superficies.

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