Medir distancias pequeñas es muy fácil. Basta una cinta métrica, y si con ella no es suficiente, se pueden poner marcas, hacer varias mediciones en serie y luego sumar. También, usando geometría básica se pueden medir distancias enormes o inaccesibles; aquí se hablará de estos métodos para medir distancias. El principio fundamental en que se basan es el de la semejanza de triángulos. Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos coinciden. Tienen entonces la misma forma y hay una constante que relaciona los lados de uno con los del otro, o bien, las proporciones entre lados correspondientes son iguales. Así que con pocos datos de un triángulo grande podemos obtener los demás.
Veamos primero un ejemplo de un método que usan los maestros de obras para aproximar distancias. Supongamos que tenemos el brazo extendido hacia enfrente y el pulgar levantado. Al cerrar un ojo y luego el otro, el dedo parece "saltar" o "brincar" de lugar en el fondo, que llamaremos "pared". Lo que pasa es que cada ojo "proyecta" al pulgar en un punto distinto de la pared y, entonces, se forman dos triángulos que comparten el vértice en el dedo. Se arma un triángulo chico con los dos ojos, y el otro, grande, con los dos puntos de la pared donde se proyecta el pulgar. Si estamos frente a la pared, estos dos triángulos son isósceles y semejantes —en el vértice del pulgar tienen el mismo ángulo.
Como en el triángulo chico la proporción de la altura a la base —del brazo extendido a la distancia entre los ojos— es, aproximadamente, de 10 a 1, en el triángulo grande se cumple la misma relación. De aquí que, si sabemos que la distancia a la pared es, más o menos, de treinta metros, entonces el "brinco" del dedo en la pared es de aproximadamente tres metros. O bien, si el dedo brincó lo que mide un coche pequeño —alrededor de cuatro metros—, éste debe estar como a una distancia de cuarenta metros.
Así se pueden medir distancias inaccesibles con semejanza de triángulos. Es sorprendente, pero fueron ideas igual de sencillas las que permitieron dar una primera estimación del tamaño de la Tierra y de la Luna. La primera estimación del diámetro de la Tierra la hicieron los griegos. Eratóstenes notó que, en la ciudad de Asuán —en Egipto—, la luz del Sol entraba de lleno a los pozos al mediodía del solsticio de verano —junio 21—, cuando las sombras llegan a su mínima longitud en el hemisferio norte. Esto sucede porque dicha ciudad está casi en el Trópico de Cáncer, que es el paralelo más al norte donde la luz del Sol puede caer o incidir verticalmente —literalmente "a plomo" — y lo hace justo en el solsticio de verano.
El cálculo de Eratóstenes se basó en medir el ángulo con el que inciden los rayos del Sol al mediodía del solsticio de verano en Alejandría, que está al norte de Asuán. Este ángulo resultó ser de 
de la vuelta completa —2π radianes o 360°—. Así que, al multiplicar por 50 la distancia entre estas dos ciudades, se obtiene una aproximación de la circunferencia de la Tierra y, por consiguiente, su diámetro al dividir entre una aproximación de π.
Lo impresionante es que, con los métodos para medir ángulos y distancias de aquella época, el error en el cálculo fuera pequeño. No se tiene certeza del cálculo preciso de Eratóstenes pues, en sus escritos, la unidad de medida de longitud que usó fueron los estadios, y en la actualidad persiste la discusión histórica de a cuánto equivalen. Eratóstenes consideró la distancia de Asuán a Alejandría de 5 000 estadios. De aquí, la circunferencia de la Tierra resulta de 5 000 × 50 = 250 000 estadios. Con el valor máximo que se tiene de un estadio, que es de 196 m, obtenemos un total de 49 000 km, y con el mínimo, 157 m, serían 39 250 km. El valor medio de la circunferencia de la Tierra que se estima hoy día es 40 000 km, así que Eratóstenes andaba muy cerca.
Para Eratóstenes, medir la circunferencia de la Tierra era un reto intelectual, "ciencia pura". Casi dos mil años después, cuando Colón planeaba su viaje hacia el oriente navegando en dirección opuesta, el mismo asunto se convirtió en cuestión de vida o muerte —pues la cantidad de víveres que necesitaba para la travesía dependía de la distancia a recorrer—. Por suerte, el cálculo de Colón era erróneo, pues pensaba que la Tierra era más pequeña de lo que en realidad es y se lanzó a la famosa aventura, aunque otro error canceló al primero: se le atravesó un continente insospechado en el camino y los víveres le alcanzaron, aunque él siempre creyó que había llegado a su destino.
Otras mediciones astronómicas que hicieron los griegos fueron la de la distancia de la Tierra a la Luna y el tamaño de la Luna. Tuvieron ayuda de una enorme coincidencia: la Luna y el Sol tienen —en apariencia— casi el mismo tamaño, es decir, el ángulo de nuestro ojo a los dos bordes del Sol o a los dos bordes de la Luna es aproximadamente el mismo. Y este hecho se corrobora en los eclipses solares cuando la Luna se interpone entre el Sol y nosotros.
Además, Aristarco de Samos, para medir la distancia a la Luna, se basó en los datos de los otros eclipses: los lunares. En ellos, la Luna entra en el cono de sombra que produce la Tierra.
El cono de sombra se crea porque el Sol se ve como un disco en el cielo y entonces la luz que de él nos llega tiene pequeñas variaciones en el ángulo. El cono de sombra es donde toda su luz queda bloqueada. Se puede observar el cono de sombra que produce un dedo en un día soleado alejándolo del piso hasta una altura de un metro o más. Muy cerca del suelo se forma una sombra con bordes bien definidos. Pero a medida que lo alejamos, sus bordes se vuelven difusos o desenfocados: son la penumbra, donde si bien parte de la luz que viene del Sol se bloquea, algo de ella pasa. El cono de sombra del dedo, o de una moneda, es "semejante" al cono de sombra de la Tierra, y entonces lo podemos medir.
Los griegos calcularon en forma experimental que el cono de sombra del Sol tiene una proporción aproximada de altura a base de 108 a 1, es decir, la longitud del cono de sombra es aproximadamente 108 veces el diámetro de la Tierra. De aquí, considerando que Sol y Luna tienen el mismo diámetro aparente, se obtiene que si dLuna denota al diámetro de la Luna, entonces:
x = 108 · dLuna (3)
es la distancia de la Tierra a la Luna.
En un eclipse lunar, la Luna entra primero a la zona de penumbra y luego al cono de sombra de la Tierra. Por el tiempo que tarda la Luna en cruzar este cono, se puede estimar que la Luna cabe más o menos 2.5 veces en el cono de sombra, es decir, en el lugar donde la Luna cruza al cono, éste mide 2.5 veces el diámetro de la Luna. Con ello ya juntamos las mediciones necesarias para poder determinar el diámetro de la Luna y la distancia que tiene de nosotros; cabe remarcar que todas estas mediciones se obtuvieron a partir de observaciones realizadas desde la Tierra.
En la figura 2.21 tenemos dos triángulos isósceles semejantes: el cono de sombra ΔADE es semejante al triángulo ΔABC. Por otro lado, el triángulo ΔABC tiene base 2.5 · dLuna y, por ello, la altura —horizontal en este caso— del triángulo ΔABC es 2.5x + x. Por lo tanto, la altura del triángulo ΔADE es 2.5x + x = 3.5x. Como sabíamos que esta altura es 108 veces el diámetro de la Tierra, entonces:
3.5x = 108 · dTierra ,
de donde podemos despejar x , que es la distancia del centro de la Tierra al de la Luna:
También obtenemos que el diámetro de la Luna es 
, por (3).
Es claro que en los métodos que acabamos de describir hay una considerable posibilidad de error en las mediciones. Los estimados básicos —108, 2.5 y que los diámetros aparentes de Luna y Sol coinciden—, vienen de Aristarco. Si en vez del diámetro de la Tierra que él usó, empleamos el que se estima en la actualidad —de dTierra = 13 000 km—, nuestras fórmulas darían 401 142 km para la distancia de la Tierra a la Luna, y 3 714 km para el diámetro lunar. Los estimados actuales son 384 403 km y 3 474 km, respectivamente, que dan errores del 4% y el 6% para el método de Aristarco. Esto demuestra el poder de la geometría euclidiana elemental y la increíble precisión con que los griegos hicieron sus mediciones, así como el enorme poder del razonamiento abstracto.
