Si observamos fenómenos de la naturaleza, es claro que no dan brincos. Lo mismo ocurre en sucesos cotidianos, por ejemplo, si el pistón de un motor se mueve hacia arriba y hacia abajo pasa por todos los estados intermedios. Por lo anterior, conviene buscar un concepto de número que exprese esta continuidad. Estos números se llaman reales y se entienden como números decimales con una precisión infinita. En este apartado se verá cómo los matemáticos lograron encontrar dichos números bajo el concepto de continuidad. Vale la pena hacer una advertencia de antemano: estos números son una necesidad filosófica pero no una práctica; las computadoras actuales pueden simular fenómenos continuos de manera asombrosa, aunque se basan en una precisión limitada. ¿Qué es lo que sucede en una calculadora de bolsillo cuando realizamos la operación 0.40.7? Esta y otras preguntas se resolverán más adelante.
Sabemos que no todo número es racional, es decir, una fracción; por ejemplo, √2 no es una fracción, como se explicó con anterioridad. Por otro lado, no toda fracción tiene una expresión decimal finita; de hecho, son racionales justamente aquellos números cuya expansión decimal es periódica.
Sin embargo, hay números con expresión decimal infinita como:
5.101001000100001000001 . . .
donde después de un 1 hay un bloque de ceros, pero cada vez, este bloque tiene un cero de más. Esta expresión no puede ser periódica. Por lo tanto, dado lo que se argumentó con anterioridad, este número —al igual que √2— no es un racional.
Si ponemos todos los números racionales como puntos sobre la recta numérica, dejarían huecos y, por eso, no bastan y se requiere rellenar los espacios vacíos entre ellos. Esto puede parecer algo extraño pero los racionales dan una precisión alta, de hecho, arbitrariamente alta. Para tener un ejemplo concreto, veamos cómo se mueve un pistón de un cilindro de una locomotora de vapor.
El pistón se encuentra en la parte baja delantera, a la altura de las ruedas, y se mueve horizontalmente por la presión del vapor en el cilindro, como se muestra en la figura 2.10. En cada momento se puede determinar su posición y expresarla con un número —si fijamos bien las unidades de medida y un punto de referencia hacia donde se mide—; por ejemplo, al medir en centímetros la posición del pistón hasta el inicio del cilindro. Es evidente que las mediciones deben arrojar todos los números desde un mínimo hasta un máximo posible. No hay huecos porque el pistón no da brincos. Por ello, los números racionales no bastan; se requieren forzosamente todos los números reales: aquellos números con una expansión decimal.
Los números cuya expansión decimal no se vuelve periódica llenan los huecos en la recta numérica. Ésta se debe imaginar como una recta graduada, es decir, con marcas que indican la ubicación de los números.
La recta numérica es parecida a una carretera: siempre encontramos las marcas de la distancia hasta un punto de referencia —usualmente el centro de la siguiente ciudad o la anterior—. En cada kilómetro de las carreteras de México, hay un letrero que indica esta distancia. En la recta numérica hay muchos más letreros, uno para cada punto, lo cual significa una infinidad de letreros. Usualmente, se dibuja la recta real de manera horizontal con los números negativos del lado izquierdo y los números positivos del derecho, aunque eso no es realmente importante; también se podría imaginar vertical o curva, o incluso, uniendo la Tierra con la Luna, pues es un concepto abstracto que construimos en nuestra cabeza.
¿Qué tan necesaria es la cola infinita de cifras y cifras para cada número? Realmente, ¿se requiere de tanta precisión? La respuesta honesta es que, para fines prácticos, no se requiere en absoluto; muchas veces bastan algunas cifras decimales. Si dividimos el número 1 entre 3 la calculadora muestra:
0.333333333
aunque en realidad el número es:
0.3333333333333333333333333333333333333333333333333333333 . . .
con una cola infinita de tres. La diferencia es tan pequeña que, en la inmensa mayoría de los casos prácticos, no importa. Podemos hacer una comparación: la distancia entre la ciudad de México y Madrid es de 9 062 km, aunque esta cantidad tiene un error de 9.062 mm. Es claro por el contexto que los 9 062 km también son sólo una aproximación: ¿de dónde a dónde se mide? ¿Del Zócalo a la Plaza Mayor? Pero, ¿de qué punto del Zócalo? ¿Alguna de las esquinas o de la base del mástil? Frente a estas incertidumbres, la diferencia de 9.062 milímetros parece no sólo insignificante, sino errónea para nuestro sentido común.
Todas las calculadoras trabajan con un número finito de dígitos. Para ellas, sólo existen los números racionales y las construcciones abstractas de los números irracionales se aproximan. Por todo lo anterior decimos que los números irracionales son una necesidad filosófica, no una práctica. Los pitagóricos descubrieron que √2 no puede ser racional. Este simple hecho basta para demostrar que hay otro tipo de números, además de los racionales.
El siguiente y último argumento para la necesidad de los números reales en matemáticas es de tipo geométrico. Para los griegos, las construcciones con regla y compás eran muy importantes. Sin embargo, si se limitan a puntos en el plano cuyas coordenadas sean racionales, bien puede ser que una construcción dada no tenga intersección, aunque "al ojo" así parece, como lo muestra la figura 2.12.
Si se interseca una circunferencia, con centro en el origen y radio 2 , con la diagonal entre los dos ejes de coordenadas, entonces, los dos puntos de intersección son (√2, √2) y (−√2, −√2). Esto quiere decir que los puntos de intersección no tienen coordenadas racionales y, así, ésta es la segunda razón para considerar a los números reales como concepto matemático.
