Medir y contar son actividades distintas. Contamos piedras pero no contamos leche, contamos sillas y caballos pero no contamos la longitud de una mesa ni el tamaño de un rancho. De una cantidad de leche medimos su volumen, mientras que de una mesa y un rancho medimos su longitud y su tamaño, respectivamente.
Para poder medir algo es necesario antes definir las unidades en las que se va a expresar lo que se mide. No tiene sentido decir que tenemos 5 de leche, que la mesa mide 2 o que el tamaño de un rancho es 24. Es necesario indicar las unidades que expresan los resultados de nuestra medición. Así, diríamos que tenemos 5 litros de leche, que la mesa mide 2 metros y el rancho 24 hectáreas.
Los números para contar son muchos —de hecho, una infinidad— y aun así, no nos sirven para medir. Lo que medimos no suele constar de un número exacto de unidades sino que, frecuentemente, hay que recurrir a fracciones de estas unidades para dar el resultado de la medición. Por ejemplo, la vaca dio "cuatro litros y tres cuartos" de leche, la mesa mide "un metro y ochenta y cinco" centímetros y el rancho tiene "veinticuatro punto tres" hectáreas.
Los números que utilizamos para contar 1, 2, 3, . . . se llaman enteros positivos, mientras que los que usamos para medir se conocen como fracciones. Las fracciones son cocientes de dos enteros positivos. Por ejemplo, 
son fracciones.
Aun cuando podamos contar algunas cosas, por ejemplo, las fresas o las uvas que compramos en un mercado, preferimos medir su peso y expresarlo no con un número exacto de fresas o uvas, sino como medio kilo de fresas y un kilo de uvas. Observemos que, a veces, no pluralizamos el sustantivo de aquello que compramos por peso, sino que decimos medio kilo de fresa y un kilo de uva, lo cual indica que estamos ignorando, a propósito, el número exacto de objetos y nos concentramos en su peso, que es normalmente una cantidad fraccionaria.
Las unidades que usamos para medir no siempre fueron las mismas. En la Antigüedad, las necesidades del comercio llevaron a los hombres a establecer unidades para medir peso, longitud, área y volumen. En distintas civilizaciones se utilizaron distintas unidades de medición. Cuando el comercio comenzó a crecer cruzando fronteras, se hizo necesario establecer equivalencias entre las unidades de medida de diferentes culturas. Estas equivalencias subsisten hasta nuestros días; por ejemplo, entre el llamado sistema inglés y el sistema métrico decimal, donde un pie equivale a 30.5 centímetros, una milla a 1 609 metros y una libra a 454 gramos.
En general, los sistemas de pesas y medidas de todas las culturas utilizan fracciones exactas de una unidad para expresar la medida de cualquier cantidad menor que dicha unidad. Así, un pie es la tercera parte de una yarda y una pulgada, la doceava parte de un pie. Estas relaciones, como dijimos, se expresan con fracciones. Por ejemplo, al usar la notación convenida internacionalmente para pies y pulgadas —f t e in, respectivamente— podemos escribir:
Para facilitar el comercio internacional, hace un par de siglos casi toda la humanidad se puso de acuerdo en hacer uso de un sistema de medición estándar, el sistema métrico decimal, donde las distancias se miden en metros y decenas o centenas de metros, y otras unidades de longitud que siempre son potencias de 10 de un metro —por ejemplo, 1000 = 103 metros son un kilómetro— cuando se trata de distancias muy grandes. Para las pequeñas se usan unidades que representan fracciones de metros y que caben exactamente 10n —10 "a la n veces", o bien, 10 elevado a la enésima potencia, donde n es cualquier número— veces en un metro, como es el caso de los centímetros —que son 
—, los milímetros —
— o las micras 
. Lo mismo se hace con las unidades de peso y con algunas otras, como las de temperatura.
Aun en los países donde impera el sistema métrico decimal —casi todos los del mundo—, las unidades de tiempo y angulares no utilizan —estrictamente— un sistema decimal. La definición original de las unidades de tiempo se basa en lo que tarda la Tierra en girar desde que el Sol está en su punto más alto hasta que ocurre lo mismo al día siguiente, es decir, en un día. En particular, un segundo es la 60 × 60 × 24 = 86 400 —"ochenta y seis mil cuatrocientosava"— parte de un día. Si ocurriese un cataclismo —como que un meteorito muy grande chocara con la Tierra— que disminuyera un poco la velocidad de rotación del planeta, la medida del día cambiaría.
Figura 2.8 Modelo concreto para el metro —unidad del sistema métrico decimal resguardada en París— en una barra de platino-iridio.
Sin embargo, ya hay relojes muy precisos basados en las vibraciones moleculares de cristales con los cuales seguiríamos sabiendo lo que es un segundo, aunque ya no co6in0c×idi6e0ra× co2n4 l=a 86 400 parte del día. En efecto, una hora es la veinticuatroava parte de un día, un minuto es la sesentava parte de una hora y un segundo la sesentava parte de un minuto. Estas unidades de medida definidas como una fracción de otras más grandes, se expresan por medio de fracciones propias, es decir, fracciones con numerador igual a uno. Usemos la notación convenida para horas y segundos con afán de mostrar lo anterior:
Para comunicar resultados simples de medición es necesario que sepamos operar con fracciones y decimales. Por ejemplo, si nos dicen que una mesa mide seis pies y cinco pulgadas, la mayoría de nosotros no tenemos una idea clara de lo que esto significa y, si quisiéramos recortar un vidrio para ponerlo sobre la mesa, necesitaríamos convertir el dato al sistema métrico decimal —en el que tenemos nuestra cinta métrica—. ¿Cómo sabemos cuánto mide en metros y centímetros esa mesa? Podemos hacer la conversión de varias maneras, siendo la más conveniente aquella que requiera menos investigación de nuestra parte. Si no sabemos cuántos centímetros mide una pulgada y sí conocemos —conviene basarnos únicamente en— la equivalencia entre pies y centímetros que —sabemos— es de 30.5 cm por pie. Entonces, primero expresamos la medida de la mesa en pies. Como vimos, una pulgada es 
de pie, la mesa mide 
pies. Para conocer la medida en centímetros, debemos multiplicar por el número de centímetros que hay en un pie —que es 30.5—cm, por tanto, la mesa mide 
.
Hace años, en este punto hubiéramos desarrollado en un papel las operaciones; hoy en día recurrimos a una calculadora y, en cualquier caso, obtenemos que la mesa mide 195.7083333 . . . cm; al aplicar el redondeo, concluimos que la mesa mide un metro y 96 centímetros, lo cual se expresa como 1.96 m o como 196 cm. Si fuera necesaria mayor precisión podríamos decir que la mesa mide un metro, noventa y cinco centímetros y siete milímetros o 195.7 cm.
El simple ejercicio anterior nos muestra cómo, por las necesidades del comercio y la actividad humana en general, fue necesario desarrollar los métodos para operar con fracciones y decimales, es decir, la aritmética. La necesidad de medir y comparar medidas llevó al hombre, primero, a desarrollar la aritmética de las fracciones y, posteriormente, a descubrir la conveniencia de utilizar la notación decimal para representar los resultados de una medición, así como la de adoptar un sistema básicamente decimal de unidades de pesas y medidas.
De esta forma, el ser humano medianamente instruido debe saber cómo realizar operaciones con fracciones y decimales ya que, sin contar con esta habilidad y aunque posea la mejor calculadora del mundo, le será imposible entender y comunicar resultados básicos de mediciones. No saber aritmética equivale a ser medio analfabeta. Afortunadamente, casi todas las personas aprenden la aritmética de las fracciones —llamadas quebrados hace algunos años— en la escuela primaria que, también, es por fortuna obligatoria en todos los países civilizados. Las operaciones básicas de la aritmética de fracciones y decimales consisten en sumar, restar, multiplicar y dividir —tanto fracciones como decimales—, y en convertir una fracción a decimal y un decimal a una fracción. Las calculadoras pueden ayudarnos a obtener estas conversiones y realizan bastante bien las cuatro operaciones básicas con decimales, pero no operan con fracciones; esto debe saber hacerlo la persona si quiere apoyarse en la calculadora. Por ejemplo, en el problema de convertir la medida de la mesa de pies y pulgadas a centímetros, fue necesario saber expresar las cinco pulgadas como 
de pie y saber que había que sumar 
para obtener el número de pies de la mesa como una fracción. Ya planteada la suma hay dos opciones: sumar fracciones y obtener 
, como hicimos en el párrafo anterior, o bien, convertir antes la fracción a decimales y operar con ellos. Ambos caminos son correctos, aunque el primero mantiene la exactitud por más tiempo, de manera que el resultado final, aunque sea un valor aproximado, da lugar a menor incertidumbre que el que obtenemos mediante el segundo camino. De cualquier forma, para efectuar la conversión correctamente, el poseedor de una calculadora tiene que entender lo que va a hacer para plantear las operaciones antes de realizarlas, y esto requiere de un conocimiento en el uso de las fracciones y de la conversión entre fracciones y decimales. En realidad, aunque éstos se consideren temas elementales, tienen suficientes sutilezas para que valga la pena repasarlos. Para conveniencia del lector —que pudiera tener alguna carencia en estos conocimientos básicos—, presentamos aquí un resumen de estas sutilezas en el tema de las fracciones y los decimales.
En primer lugar, varias fracciones distintas pueden representar un mismo número. Por ejemplo, 
, representa lo mismo que 
y que 
. De hecho, dados una fracción 
y cualquier entero positivo k, la fracción 
representa el mismo número que . Los números representados como fracciones se llaman números racionales. Lo que acabamos de observar muestra que un número racional no es "una" fracción sino muchas, todas las que dan lugar al mismo cociente. Los matemáticos dicen a veces cosas como ésta: los números racionales son las clases de equivalencia de todas las fracciones tales que, para dos elementos 
de una clase, existen enteros k1 y k2 que cumplen:
m1 × k1 = m2 × k2
n1× k1 = n2× k2
El lector no tiene que leer ni entender estas "precisiones" para saber lo que es un número racional, basta que lo piense como el cociente de una fracción y sepa que si dos fracciones dan lugar al mismo cociente, entonces ambas representan el mismo número racional. Por ejemplo, 
son dos fracciones que representan el mismo número racional; también podemos decir que estas fracciones son iguales —pues aunque sean obviamente distintas por sus numeradores y sus denominadores diferentes, los cocientes sí son iguales— y se pueden escribir 
. Muchas veces es conveniente representar un número racional por su fracción más simple, que es precisamente aquella en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes; por ejemplo, pueden representarse por la fracción 
. Una fracción que no tiene divisores comunes —como —, se llama irreducible.
Y... ¿qué es el cociente de dos enteros?, ¿qué es un número racional? Para no recurrir a un lenguaje técnico, es conveniente identificar a los números racionales como las expresiones decimales que se obtienen al dividir el numerador de una fracción por su denominador. En efecto, toda fracción da lugar a una expresión decimal. Para obtenerla, basta dividir el numerador entre el denominador. Algunas fracciones, como 
, tienen una expresión decimal finita o cerrada:
Por otro lado, toda expresión decimal finita puede escribirse como una fracción. Por ejemplo, 
.
Sin embargo, hay fracciones muy simples como 
cuyas expresiones decimales son infinitas, aunque ¡atención! Existe una característica que define las expresiones decimales de las fracciones: si no son finitas, entonces son periódicas. Veamos algunos ejemplos de expresiones decimales que se obtienen de fracciones:
He aquí el cálculo de la última división:
Observemos que, a partir de donde el tres aparece como residuo por segunda vez, los dígitos se repiten. La expresión decimal —no finita— de una fracción es periódica cuando se divide un número entre el denominador de la fracción y se obtiene un residuo menor al denominador y, al repetir las divisiones, eventualmente vamos a obtener uno de los residuos que obtuvimos antes —a partir de ese momento, como es lógico, los resultados de la división se repiten. No importa cuán grande sea el denominador, sólo puede haber un número finito de residuos al dividir por él y, por tanto, en algún momento el procedimiento va a repetir el resultado.
Finalmente, vamos a mostrar con un ejemplo cómo puede obtenerse la fracción que corresponde a una expresión decimal periódica. Por ejemplo, si x = 0.53982539825398253982 . . . es el número cuya expansión decimal es periódica, entonces:
100 000x = 53982.53982539825398253982 . . .
Y si hacemos la resta 100 000x − x , obtenemos:
Por ello, al despejar se tiene que:
Este truco se puede repetir cada vez que la expresión decimal es periódica. Para corroborar lo anterior, hagamos la división:
Aunque la expresión decimal de un racional sea infinita, la información puede mostrarse con un número finito de cifras al indicar cuál parte se repite de manera interminable con una raya horizontal. Así, se puede escribir:
Así, se ve que los números racionales son exactamente aquellos números cuya expresión en decimales resulta periódica. Con los números racionales se puede medir con cualquier exactitud requerida; sin embargo, como se verá en la siguiente sección, hay otros números que se consideran más una necesidad filosófica que práctica.
