Una lógica provee de un lenguaje con la expresividad adecuada para resolver un problema. Los acertijos planteados resultan más o menos simples de resolver usando la lógica de primer orden. Pero para resolver el siguiente, aun sin darse cuenta de ello, se necesita otro tipo de lenguaje.
Tres alpinistas
En una fría madrugada de invierno, en medio de la oscuridad total, tres alpinistas que pernoctan en una cabaña, a los que se llamará A, B y C, se levantan al mismo tiempo y toman sus gorras de lana de una mochila en la que hay cinco de ellas: tres rojas y dos negras. Al salir de la cabaña cada uno de ellos puede ver la gorra de sus compañeros, pero no la propia. Todos saben cuántas gorras hay en total de cada color. A le pregunta a B, estando presente C, si sabe el color de la gorra que el propio B tiene, B dice que no; de igual forma, A le pregunta a C, en presencia de B, si sabe el color de su gorra, C dice ignorar el color de su propia gorra. A declara entonces que tiene una gorra roja, ¿cómo lo determinó?
Para resolver el acertijo es necesario poner en claro lo que sabe cada uno de los personajes y lo que saben todos ellos. Es decir, el conocimiento individual y el común. Como sólo hay dos negras y no alcanzan para todos, necesariamente hay al menos una gorra roja en alguno de los alpinistas y eso es algo que todos saben. Se puede expresar esto en términos de lógica como: A tiene gorra roja Ó B tiene gorra roja Ó C tiene gorra roja. Se ha usado el conectivo Ó en el sentido que suele usarse en lógica, para denotar una disyunción de proposiciones, esto es, al menos una de las tres proposiciones es verdadera. En la lista que aparece a continuación y que contiene lo que todos saben, esta disyunción aparece modificada en el primer inciso.
1] A o B o C tiene gorra roja.
2] A sabe el color de la gorra de B.
3] A sabe el color de la gorra de C.
4] B sabe el color de la gorra de A.
5] B sabe el color de la gorra de C.
6] C sabe el color de la gorra de A.
7] C sabe el color de la gorra de B.
Después de la primera pregunta de A, el acervo de conocimiento común se incrementa, C responde que no sabe el color de su propia gorra, es decir:
8] C no sabe el color de la gorra de C.
Dados 6 y 7, si C viera dos gorras negras en A y B, sabría que, como son todas las negras que hay, él debe tener una roja. Sin embargo, dado que C declara no saber el color de su gorra se deduce que no ve dos negras, es decir, al menos ve una roja. Es decir:
9] A tiene gorra roja o B tiene gorra roja.
Se integra ahora también al conocimiento común. Luego de la segunda pregunta de A, todos saben que:
10] B no sabe el color de la gorra de B.
Dados 4 y 5, si B viera dos negras, por el mismo razonamiento anterior sabría que él posee una roja; dado que declara no saber, significa que al menos ve una gorra roja. Es decir:
11] A tiene gorra roja o C tiene gorra roja.
Con este conocimiento acumulado, A puede deducir que tiene una gorra roja, porque si fuera negra, dada la respuesta de C a la primera pregunta, B hubiera podido saber, por el inciso 9, que él tenía gorra roja. Pero B no supo (10), así que la gorra de A no puede ser negra. Por lo tanto tiene que ser roja. ¡Ajá! Además es posible darse cuenta de que nunca se usa el hecho de que A puede ver las gorras de sus compañeros. De hecho A podría ser invidente y aún así deducir correctamente el color de su gorra, porque la deducción se basa sólo en el conocimiento que se acumula a lo largo del proceso.
Al tipo de lógica que se utiliza para hacer deducciones basadas en conocimiento se le denomina lógica epistémica, y cuando se utiliza específicamente la noción de saber adquiere el sobrenombre de lógica modal. Éste es también un sistema formal basado en axiomas, de hecho los mismos de la lógica de primer orden con algunos adicionales que le dan poder de deducción basado en el conocimiento. Se da por sentado, por ejemplo, que algo que se sabe es verdadero, y que si algo se sabe, entonces también se sabe que eso se sabe y que si no se sabe, entonces se sabe que no se sabe. Parece trabalenguas, pero es lógica.
El acontecimiento que marcó el fin de la segunda guerra mundial, la invasión aliada de Europa, se puede deducir de la lógica modal:
• Los alemanes no saben que la invasión de Europa será por Normandía.
• Los ingleses (mediante una eficaz red de espionaje) saben que los alemanes no saben que la invasión será por Normandía, y además.
• Los alemanes no saben que los ingleses saben que los alemanes no saben que la invasión será por Normandía.
Así se pudo fraguar el engaño del día D. Los ingleses tomaron de la morgue el cadáver de un indigente, le inventaron una identidad falsa vinculada con el Estado mayor, le esposaron un portafolios con documentos falsos que indicaban que la invasión de Europa tendría lugar por el paso de Calais, donde Inglaterra y el continente están más cerca, y dejaron el cuerpo a la deriva cerca de la costa española (Francisco Franco era afín al eje). Después, el servicio de inteligencia británico corroboró que el engaño había tenido éxito y Adolfo Hitler estaba convencido de que, de realizarse una invasión, ésta tendría lugar por el paso de Calais, lugar en el que se reforzó la defensa alemana (el "Muro del Atlántico"), mientras que en Normandía, sin ser despreciable, la defensa era menor.
La lógica modal y su poder de deducción la hacen una de las herramientas más útiles en el análisis de problemas que involucran conocimiento. Tiene por tanto aplicaciones evidentes en diversas áreas de la inteligencia artificial, pero también es útil para formular las abstracciones necesarias para resolver problemas que involucran la participación de diversas entidades computacionales, como se verá en el capítulo de redes, en términos llanos, de diversas computadoras que colaboran para lograr un objetivo común. De hecho, hace posible minimizar la comunicación entre procesos distantes de tal forma que se intercambie sólo lo indispensable para tener el conocimiento común que les permita lograr su objetivo o bien demostrar que hay problemas que no pueden resolverse a menos que se garantice un mínimo conocimiento común.
Como se pudo percibir en los acertijos anteriores, el objetivo es que el conocimiento nuevo que se incorpora en cada paso, en cada deducción, reduzca el número de posibilidades entre las que se encuentra la solución. Al principio se sabía poco acerca de cuál es realmente el estado de las cosas (los colores de las gorras de todos); existen muchos mundos posibles y en cada uno de ellos los colores de las gorras de A, B y C son diferentes, todas las combinaciones posibles. Luego, conforme se aprende algo nuevo, el número de mundos posibles se reduce paulatinamente hasta llegar a uno solo, o bien, a un conjunto de ellos en los que hay alguna característica común.
