A fines del siglo XIX y principios del XX había un gran interés por la lógica. Allí surgió el problema de la decidibilidad que se ha mencionado y, junto con éste, algunos otros. Este interés no era fortuito, la intención última era establecer una estructura sólida, perfecta para las matemáticas, sobre la lógica, la herramienta para razonar de manera impecable que permite deducir conocimiento nuevo a partir de lo ya establecido. De allí que cobrara auge también el método axiomático en las matemáticas: si cualquier área de las matemáticas podía ser construida a partir de una colección finita de postulados elementales, usando las reglas de la lógica para derivar todo lo demás, entonces todo era un sistema formal y la esperanza era que esto deviniera en la perfección.
La perfección habla de sistemas formales cuyos axiomas se pueden enumerar mediante una máquina de Turing, y se refiere a que:
• El sistema es completo. Lo que significa que cualquier proposición verdadera en el sistema puede deducirse a partir de los axiomas.
• El sistema es consistente. Lo que significa que no existe ninguna proposición que pueda ser demostrada como verdadera en el sistema y que ocurra lo mismo para su negación.
Los últimos dos incisos son incompatibles para sistemas formales suficientemente complejos, según lo demostró el lógico Kurt Gödel en 1931. Ningún sistema formal que contenga, al menos, los axiomas de la aritmética, puede ser al mismo tiempo completo y consistente. Es decir, para la aritmética misma, que es consistente, hay enunciados que a pesar de ser verdad no pueden demostrarse en el sistema a partir de los axiomas y usando las reglas de la lógica.
